TEORIA DOS NÚMEROS - SOMATÓRIOS E PRODUTÓRIOS (3)

SOMATÓRIOS E PRODUTÓRIOS

4.5 – BINÔMIO DE NEWTON          Definição:- Chamamos de binômio de Newton a toda expressão do tipo (x + a)m. Propriedade 1 – Desenvolvimento do binômio          Para todo inteiro positivo m, o desenvolvimento de (x + a)m é dado por:

Demonstração:- Usaremos o processo de indução para provar essa propriedade. A propriedade é verdadeira para m = 1, pois (x + a)1 = x + a

Como a propriedade é verdadeira para n + 1, ela é verdadeira para todo m inteiro natural. Propriedade 2 -  Termo geral De acordo com o desenvolvimento é fácil observar que o termo de ordem p + 1 do desenvolvimento de (x + a)m é determinado por

Propriedade 3 – Número de termos do desenvolvimento de (x + a)m.          O desenvolvimento de (x + a)m tem m + 1 termos. Propriedade 4 – Termos eqüidistantes dos extremos Os coeficientes de dois termos eqüidistantes dos extremos de (x + a)m são iguais.          Estes termos são formados por binomiais complementares. Propriedade 5:- Soma dos coeficientes

A soma dos coeficientes de

é igual a 2m.         É fácil demonstrar essa propriedade pois basta fazer x = a = 1.           A soma dos coeficientes de qualquer tipo de binômio pode ser obtida por procedimento semelhante. Exemplo: a soma dos coeficientes de (3x2 + 2y)5 = (3 + 2)5 = 55 = 3125. Para obter esse resultado fez-se x = y = 1. EXERCÍCIOS: 1 – Escreva o desenvolvimento dos binômios (a)  (2x + 3y2)6            (b) (x – 2y5)8 2 – Determine o 5º termo do desenvolvimento de (x/2 – 4x2)8. 3 – Determine o terceiro termo do desenvolvimento de (2x – 3y4)7 4 – Calcule a soma dos coeficientes do desenvolvimento de cada um dos binômios abaixo: a)     (16x – 14y5)            b)   (x + 2y5)7     c)   (4x10 – 4y3)99       d)  (1032x – 1032y4)2001

6 – Calcule o termo independente de x no desenvolvimento de (3x2 + 2/x3)10. 7 – Calcule o termo em x11, no desenvolvimento de (x/2 – 4x2)8. 8 – Os coeficientes dos 8º e 15º termos no desenvolvimento de (x + a)m são iguais. Calcule a soma dos coeficientes de (x + a)m. 9 – Um dos termos do desenvolvimento de (x3 + 2y4)m apresenta a combinação x12y12. Qual é o valor de m?