TEORIA DOS NÚMEROS - O CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (5)

O CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS

2.7 - FATORIAL DE UM NÚMERO         Ao produto de todos os inteiros não negativos de n até 1, indicamos por n! que se lê fatorial de n. Assim, n! = n.(n - 1).(n - 2).(n - 3).....3.2.1.        Define-se também o fatorial de zero, como 0! = 1. Esta definição é justificada no estudo dos agrupamentos (análise combinatória) ao calcular o número de combinações com m elementos tomados zero a zero que é igual ao número de combinações com m elementos tomados m a m (combinações complementares). Conseqüências da definição: (1)  Produto dos n primeiros inteiros positivos pares       2.4.6.... 2(n - 2).2(n - 1).2n = (2.1).(2.2).(2.3)....2(n - 2).2(n - 1).2(n) = 2n.n! (2) Produto dos n primeiros inteiros ímpares positivos      Considerando todos os 2n inteiros positivos temos:      1.2.3.4....(2n-4).(2n - 3).(2n - 2).(2n - 1).2n = (2n)!.  O produto dos positivos é 2n.n!. Portanto, o produto dos negativos será  (2n)!/(2n.n!) (3) 1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + n.n! = (n + 1)! - 1.      Temos: n.n! = [(n + 1) - 1]. n! = (n + 1).n! - n! = (n + 1)! - n! Fazendo, sucessivamente n = 1, 2, ...n, teremos: 1.1! = 2! - 1!; 2.2! = 3! - 2!; 3.3! = 4! - 3!...  n.n! = (n + 1)! - n!. Somando membro a membro as igualdades resulta: 1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + n.n! = (n + 1)! - 1 (note que em cada parcela aparece x! e - x! que se anulam). 2.8 - NÚMEROS BINOMIAIS          O coeficiente do termo de ordem n do desenvolvimento do binômio de Newton (x + a)m é determinado por Cm,n-1 (combinações de m elementos tomados n-1 a n-1). Por exemplo, o coeficiente do 5º termo do desenvolvimento de (x + a)8 é C8,4 (combinações de 8 elementos tomados 4 a 4).

A notação Cm,n pode também ser escrita na forma

Nesta última notação m é chamado de numerador e n de classe. Assim, lê-se "binomial de numerador m e classe n"

Define-se o binomial de numerador m e classe n por:

Observe que 9!/6! = 9.8.7   Com relação aos números binomiais podemos destacar as propriedades:

São binomiais de mesmo numerador, onde a soma das classes é igual a esse numerador.             Propriedade: Dois binomiais complementares são iguais. Demonstrando: Por definição: Cm,n = m!/(m-n)!.n! = = m!/(m - n)![m - (m - n)!] = m!/[m - (m - n)]!(m - n)! = Cm, m-n.

Isto é: são binomiais de mesmo numerador e classes consecutivas. Propriedade:- Conhecida como relação de Stifel, dois binomiais consecutivos, guardam a seguinte relação

EXERCÍCIOS   1 - Calcule  (a) 5!        (b) 2.4!      (c) 2000!/1998! 2 - Simplifique a expressão:  [(x + 1)!/(x - 1)!] . [(x - 2)!/x!] 3 - Resolva a equação:  x! = 90.(x - 2)! 4 - Indique por V ou F: (a) (m.n)! = m!.n!        (b) (m + n)! = m! + n! 5) Resolva as equações:

6) Demonstre que Cm,n = [(m - n + 1)/n].Cm,n-1  7) Calcule o inteiro positivo n sabendo-se que:    3n + 2 . 2n + 3 = 2592.  8) Ache os valores de n < 7 para os quais n! + 1 é um quadrado perfeito.  9) Indique por V ou F caso sejam verdadeiras ou falsas as igualdades abaixo:          a) (mn)! = m! . n!     b) (m + n)! = m! + n!