CÁLCULO NUMÉRICO - Mudanças de bases - ERROS (1)

1.1 – INTRODUÇÃO               Em conteúdos anteriores você aprendeu a resolver algumas equações, determinar uma integral definida entre tantos outros cálculos. Estes cálculos envolviam fórmulas que permitiam resolver o problema algebricamente. Entretanto, nem toda equação, nem toda integral definida, etc, poderá ser resolvida mediante as regras conhecidas. Para resolver estes e outros problemas você deverá lançar mão de processos numéricos, que por meio de aproximações levam à solução do mesmo. 1.2 – ERROS          Em toda medida, bem como em operações, o erro é um elemento sempre presente. Tomamos por exemplo a realização da medida do comprimento da barra abaixo:

Para tal podemos usar uma régua centimetrada, isto é, uma régua cuja menor divisão é o centímetro. Posicionando a régua adequadamente teremos:

Observe que o comprimento da barra é maior que 34 cm e menor que 35 cm. É convencionado adotar para tal situação uma leitura como 34,7 cm onde o dígito 7 é um valor impreciso. Tal dígito é chamado de algarismo duvidoso. Regra 1 – Ao usar um aparelho de medida devemos indicar na leitura até décimos da menor divisão da escala, salvo quando indicado pelo fabricante.Se a régua fosse milimetrada teríamos:

A medida da barra agora é maior que 34,6 cm e menor que 34,7 cm. A medida da barra deve ser então representada por 34,68 cm. Neste caso, o dígito 6 é correto enquanto que o dígito 8 é aproximado.         Se as medidas já apresentam erros, evidentemente, ao operar com elas os erros irão se propagar tornando os resultados cada vez mais distantes da realidade.          Uma classe de erro que se deve levar em conta está ao utilizar dispositivos que efetuam cálculos como computadores, calculadoras, régua de cálculo, etc. Todos estes dispositivos limitam a quantidade de algarismos nos resultados e, isto implicará em erros que devem ser conhecidos de modo a ser ter alguma precisão do resultado. Nos computadores e calculadoras os dados de entrada são expressos na base dez e nestes dispositivos convertidos para a base binária com a qual se efetuam os cálculos. Estes são novamente convertidos para a base dez para transmissão ao usuário. As conversões são outras fontes de erros.1.3 – SISTEMA DE BASES NUMÉRICAS          Definição 1. Seja uma base numérica B.  Um número na base B é representado na forma (bnbn-1bn-2...b2b1b0)B, sendo 0 < bj < (B – 1), j = 1, 2, 3 ... n. Os termos bj são denominados dígitos usuais para a base B. Exemplo 1: B = 10 (base decimal) dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. (465228)10 indica um número expresso na base 10. Exemplo 2: B = 2 (base binária) dígitos 0 e 1. (11001)2 indica um número expresso na base 2.          Definição 2. O número (bnbn-1bn-2...b2b1b0)B pode ser escrito na forma polinomial                                   bn.Bn + bn-1.Bn-1 + bn-2.Bn-2 + ... + b2B2 + b1B1 + b0B0. Exemplo 3: (210022)3 = 2.35 + 1.34 + 0.33 + 0.32 + 2.31 + 2.30Exemplo 4: (2297)10 = 2.103 + 2.102 + 9.101 + 7.100Nota 1. Como a base 10 é a base canônica (corrente) não há necessidade de indicá-la. Assim, 4376 é um número escrito na base 10.  1.4 – CONVERSÃO DE NºS INTEIROS NAS BASES DECIMAL E BINÁRIA          Daremos importância a estas duas bases pois a base decimal é a base usada para que o usuário se comunique com máquinas de calcular e computadores e a base binária é a base usada pelas máquinas nas operações. O processo de conversão de bases utiliza repetidas operações. Assim, podemos utilizar um aplicativo que realiza tais repetições evitando assim um excesso de trabalho. É possível criar aplicativos usando diferentes linguagens como o Pascal, Java, etc. Usaremos, devido a facilidade e o provável conhecimento da grande maioria dos usuários os aplicativos que trabalham com planilhas como o Excel (Microsoft Office da Microsoft) e o StarCalc (StarOffice da Sun Microsystems). O StarOffice, até a versão 5.2 pode ser obtido gratuitamente na Internet.