CÁLCULO NUMÉRICO - Mudanças de bases - ERROS (6)

1.7 – LIMITAÇÃO DE DÍGITOS

                   Toda máquina (calculadora, computador) tem um limite para a quantidade de dígitos a ser exibida. Nessa limitação podem ser usados dois processos:
1 – Truncamento – é um processo que consiste em simplesmente abandonar os dígitos excedentes.
Exemplo: supondo que a limitação de uma máquina seja de 6 dígitos. O número 32675.178 ao ser exibido irá figurar como 32675,1. Os dois últimos dígitos (7 e 8) são abandonados.
2 – Arredondamento – é um processo onde, se o primeiro dígito a ser abandonado for igual ou superior a (1/2)B, onde B é a base, será acrescentada 1 unidade ao último dígito a ser exibido.
Se o primeiro dígito a ser abandonado for inferior a (1/2)B, o valor do último dígito a ser exibido será mantido.
Exemplo 7: se a máquina trabalha com apenas 4 dígitos, tem-se:
(a) 462,5177 – será exibido como 462,5 pois o primeiro dígito a ser abandonado é 1 < 10/2 (base 10).
(b) 3,67284 – será exibido como 3,673 pois o primeiro dígito a ser abandonado é 8 > 10/2.
(c) 0,11100₂ – será exibido como 0,111 pois o primeiro dígito a ser abandonado é 0 < 2/2 = 1.
(d) 0,1011101₂ – será exibido como 0,110 pois o primeiro dígito a ser abandonado é 1 > 2/2.

1.8 – NOTAÇÃO CIENTÍFICA E PONTO FLUTUANTE

                   Consideremos as medidas: (1) número de moléculas existentes em 18 g de água e (2) comprimento de onda da luz vermelha.
Em 18 gramas de água existem cerca de 602000000000000000000000 moléculas.
O comprimento de onda da luz vermelha é 0,0000000076 km.
Como pode ser observado, a indicação de números como estes, seja ele muito grande ou muito pequeno, exige uma grande quantidade de dígitos na sua representação decimal normal.
Fatos semelhantes ocorrem quando é usada uma base não decimal.
Para minimizar tal problema é comum expressar tais números na forma
                                  a₁a₂...a_n,a_{n + 1}a_n+2... x 10^k, onde a_i = 0, 1, 2, 3 … , 9;  k Î Z.

Nessa notação a₁a₂...a_n,a_{n + 1}a_n+2... é chamada de parte significativa do número.

          Quando a notação apresenta à esquerda da vírgula apenas um dígito diferente de zero, ela é denominadanotação científica.
Para as medidas citadas no início desse item teremos:                   (1) 6,02 x 10²³ moléculas e (2) 7,6 x 10^-9 km.

Se a notação tem um zero antes da vírgula, a representação é denominada “ponto flutuante”. Nesta notação, o primeiro dígito à direita da vírgula deverá ser diferente de zero.
Para as medidas acima:                   (1) 0,602 x 10²⁴ moléculas  e (2) 0,76 x 10^-8 km.

Definição 4. Em computadores e calculadoras um número real r, no sistema denominado “aritmética de ponto flutuante” é representado por                                         r = ± (0.b₁b₂b₃...b_n) x B^k onde:
(1) B é a base usada pela máquina;
(2) n é o número de dígitos da mantissa (parte fracionária);
(3) b₁, b₂, b₃,...,b_n, são dígitos usados na base B e b₁ ¹ 0;
(4) k é um inteiro pertencente ao intervalo [m, M] que define a limitação da máquina.
Em geral,
                   Os valores máximo e mínimo (em valor absoluto) admitidos nesse sistema de ponto flutuante serão N_min = 0,1000...0 X B^m e N_max = 0,bbbb...b x B^M onde b = B – 1.
Nestas representações, após a vírgula serão admitidos n dígitos, conforme definido em (3).

Exemplo 8: Base 10, n = 5 (cinco dígitos após a vírgula),  k Î [-8, 7].
N_min = 0,10000 x 10^-8  (menor número positivo) e N_max = 0,9999 x 10⁷.

Exemplo 9: Base 2, n = 3, k Î [-4, 4].
N_min = 0,100 x 2^-4 e N_max = 0,111 x 2⁴.

         Considerando o exemplo 8 acima pode ocorrer, ao trabalhar com um número N:
(1) N_min < 645,7892 x 10³ < Nmáx. O número N será exibido como 0.6458 x 10⁵ caso esteja usando o processo de arredondamento ou 0.6457 x 10⁵ se for usado o processo de truncamento.
(2) 3462,17 x 10^-12 < N_min.
Será acusado um erro denominado underflow (abaixo do limite inferior).
(3) 12,498 x 10⁸ > Nmax.
Será acusado um erro denominado overflow (acima do limite superior).