INTEGRAIS DUPLAS - EXERCÍCIO RESOLVIDO

EXERCÍCIO:

Mude a integral cartesiana

para uma integral polar equivalente. Então calcule a integral polar.

RESOLUÇÃO:

Para x no intervalo [-1, 1], as curvas  e  descrevem os semi-círculos inferior e superior do círculo de raio 1. Logo, a região de integração é o disco de raio 1. A figura abaixo ilustra esse disco juntamente com o gráfico da função  .

Em coordenadas polares  e  , o disco pode ser descrito como o conjunto dos pontos (  ) para os quais  está no intervalo (  ) e  está no intervalo (  ). Essa variação está ilustrada na figura abaixo.

Após essas considerações, e lenbrando que, em coordenadas polares,  , segue-se que

Isto transforma a integral cartesiana em uma integral polar equivalente. Para o cálculo da integral polar, basta usar a substituição  . Então  , e portanto