Encontre o volume do sólido no primeiro octante limitado pelos planos coordenados, pelo cilíndro
RESOLUÇÃO:
O primeiro passo é ilustrar a região de integração. Para isso, observe que a equação ![]()
corresponde à um cilindro de raio 2 ao longo do eixo Oz. Já a equação ![]()
representa um plano pelos pontos (0, 3, 0) e (0, 0, 3) e que não cruza o eixo Ox. A partir dessas observações, o sólido pode ser ilustrado como na figura abaixo.
Da ilustração acima é claro que o volume procurado corresponde à integral da função ![]()
sobre o domínio D limitado pelo disco ![]()
no plano Oxy, com 
e 
. O domínio é tanto da forma Rx como da forma Ry, e o cálculo usando uma forma não é significativamente mais fácil do que a outra. Escolhendo, por exemplo, a forma Rx, o volume pode ser calculado por meio das integrais
e . O domínio é tanto da forma Rx como da forma Ry, e o cálculo usando uma forma não é significativamente mais fácil do que a outra. Escolhendo, por exemplo, a forma Rx, o volume pode ser calculado por meio das integrais
Acima, a integral ![]()
pode ser calculada por meio de uma substituição trigonométrica. Mas é claro que seu valor corresponde à 1/4 da área do disco de raio 2, isto é, corresponde a ![]()
.
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