A DERIVADA (2)

Definição formal

Seja I um intervalo com mais do que um ponto do conjunto  dos números reais e seja f uma função de I em  (função esta que é formalmente denotada por ) . Se o ponto  (lê-se: o ponto a pertence, faz parte do intervalo I), diz-se que f é derivável em a se existir o limite e o mesmo for finito

, onde .




Se for esse o caso, aquele limite designa-se por derivada da função f no ponto a e representa-se por f′(a). Note-se que a derivada de f em a, se existir, é única. Isto continuaria a ser verdade se I fosse um conjunto qualquer de números reais e se a fosse um ponto não isolado de I.

Segundo esta definição, a derivada de uma função de uma variável é definida como um processo de limite. Considera-se a inclinação da secante, quando os dois pontos de intersecção com o gráfico de f convergem para um mesmo ponto. No limite, a inclinação da secante é igual à da tangente.

O declive da secante ao gráfico de f que passa pelos pontos (x,f(x)) e (x + h,f(x + h)) é dado pelo quociente de Newton:

.

Uma definição alternativa é: a função f é derivável em a se existir uma função φ_a de I em R contínua em a tal que

.

Então define-se a derivada de f em a como sendo φ_a(a).