CÁLCULO NUMÉRICO - Mudanças de bases - ERROS (7)

1.9 – ERROS ABSOLUTO E RELATIVO

         Conforme já comentado anteriormente, o erro está sempre presente em cálculos devido à limitação das máquinas. É necessário se ter uma estimativa desse erro de modo a se ter alguma confiança nos cálculos ou nas medidas.         Definição 5: Seja X o valor exato de uma medida e X’ um valor aproximado.
Chamamos de ERRO ABSOLUTO referente à medida X (EAX) à diferença entre o valor exato e o valor aproximado.  Isto é: EAX = X – X’.

         Em geral, apenas o valor aproximado X’ é conhecido. Neste caso utiliza-se uma estimativa para o módulo do erro absoluto tendo por base um limite superior.
Tomando por exemplo Ö2 Î [1,411, 1,412], qualquer valor de Ö2 dentro desse intervalo teremos:
|EAX| = |Ö2 – X| < 0,01, onde 0,01 é a amplitude do intervalo [1,411, 1,412].

         Definição 6. define-se o erro relativo de uma grandeza X, à razão entre o erro absoluto e o valor aproximado usado para essa grandeza.

                                             Escrevemos: ER_x  = EA_x/X’.            Definição 7. Uma medida Y tem maior precisão que outra medida X se o valor absoluto do erro relativo da medida Y for  menor que o erro relativo da medida X.1.10 – ERROS DE TRUNCAMENTO EM UM SISTEMA DE ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE

         Num sistema de Aritmética de Ponto Flutuante, a máquina estabelece o número de dígitos da mantissa.Conforme já foi definido, o truncamento se dá com a eliminação dos dígitos que ultrapassam a quantidade de dígitos usada pela máquina.
         Seja então um número x = 0.2342345 x 10³ que deve ser truncado no quarto algarismo após a vírgula.  Deste modo x’ = 0.2342 x 10³, e em conseqüência EAx = 0.0000345 x 10³ = 0.345 x 10^-1 < 10^-1.         Seja então o número x = 0.b₁b₂b₃b₄...b_k...b_n . 10^m. Ao truncá-lo no dígito de ordem k, teremos:
x' = 0.b₁b₂b₃b₄...b_k . 10^m. 
O erro será então EAx = 0.000...0b_k.....b_n . 10m = 0.b_k+1...b_n . 10^-k.10^m = 0.b_k+1...b_n . 10^m-k < 10^m-k.
Se x é um número negativo, devemos considerar o seu valor absoluto e nesse caso usar o valor absoluto do erro absoluto.
De acordo com o exposto podemos estabelecer a seguinte regra:

"ao truncar a medida X = 0.b₁b₂b₃b₄...b_k...b_n . 10^m para
k  dígitos na mantissa, o valor absoluto do erro absoluto será menor que 10^m-k.

O valor absoluto do erro relativo, já definido anteriormente é |ER_X| = |parte truncada|/|x’|.
Como a parte truncada é menor que 10^m-k e x’ = 0.a₁a₂a₃... x 10^m > 0,1 x 10^m = 10^{m - 1}, teremos
|ER_X| < 10^m-k/10^m-1 = 10^-k+1. Assim,

                                " ao truncar a medida X = 0.b₁b₂b₃b₄...b_k...b_n . 10^m para
                     k  dígitos na mantissa, o valor absoluto do erro absoluto será menor que 10^-k+1.

Exercícios
1. Calcule os valores absolutos dos erros absoluto e relativo devido ao truncamento num sistema de ponto flutuante que opera com 5 dígitos (mantissa).
A) 0.231567 x 10⁴                   B) 0,916354211 x 10⁸.

2. Faça uma estimativa (limite) dos valores absolutos dos erros absoluto e relativo devido ao truncamento em um sistema de ponto flutuante que opera com 3 dígitos, para:
A) 0,61254 x 10²           B) 0,214672 x 10^-3.

1.11 – ERROS DE ARREDONDAMENTO EM UM SISTEMA DE ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE

          Num sistema de Aritmética de Ponto Flutuante onde o número de dígitos é p, se o dígito de ordem p + 1 for superior ou igual a 5, o dígito de ordem p é acrescido de 1 unidade. Se o dígito de ordem p + 1 foi inferior a 5, o dígito de ordem p é mantido.               
Tomando, por exemplo, para os números  X = 0.234587 x 10⁶ e Y = 0.234521 x 10⁶, num sistema que opera com 4 dígitos, teremos X’ = 0.2346 x 10⁶ e Y’ = 0.2345 x 10⁶.
Note que em X’ o dígito 5 foi substituído por 6 pois 8 > 5 e em Y’ foi mantido o dígito 5 pois 2 < 5.

Para X, o valor absoluto do erro absoluto foi de
|EA_X| = |X – X’| = |0.234587 x 10⁶ - (0.2345 + 0.0001)x10⁶| =
= |(0.2345 + 0.000087).10⁶ - (0.2345 + 0.0001)x10⁶| = |(0.000087 – 0.0001).10⁶| =
= |(0,87 – 1).10^6-4| = |-0,13.10²|.
Desejando apenas um limite superior para o erro, |-0,13.10²| < (1/2).10².
Observação 1: indicando a parte a ser arredondada sob a forma de ponto flutuante, teríamos
0.000087 x 10⁶ = 0.87.10^6-4, onde 6 é o expoente da base em X (ou X’) e 4 é o expoente da base na parte a ser arredondada.
Observação 2: se a parte a ser arredondada fosse 5 x 10⁶, o erro seria igual a (1/2)x10².
O valor absoluto do erro relativo é de:
|ERX| = |X – X’|/|X’| = |-0,13.10²|/|0.2346 x 10⁶| = 0.5541.10^-4.
Desejando apenas um limite superior para o erro, |X – X’| < (1/2)x10² e |X’| > 0.1x10⁶ Þ
|ERX| < (1/2)x10² / 0.1x10⁶ = (1/2).10^2-6+1 = (1/2).10^-3.Para Y, |EAY| = |0.234521 x 10⁶ - 0.2345 x 10⁶| = |0.000021.106| = 0.21.10⁶.10^-5 = 0.21.10¹. Como o primeiro dígito após o dígito a ser exibido é menor que 5, podemos garantir que |EAY| < (1/2).10¹.
|ERY| = |0.21.10¹|/|0.2345 x 10⁶| = 0.8955 x 10^-5,
Para estimar o limite superior temos:
|EAY| < (1/2).10¹ e X > 0.1 x 10⁶ Þ |ERY| < (1/2).10¹/0.1x10⁶ < (1/2).10^-4.

Pelos exemplos acima, e comparando com o exposto para os valores absolutos dos erros absoluto e relativo no processo de truncamento, vemos que no processo de arredondamento, as previsões para estes erros serão menores que a metade das previsões feitas para o processo do truncamento.
Assim, podemos afirmar que:  

Do exposto acima, através dos exemplos, pode-se concluir:

"ao arredondar o número X = 0.b₁b₂b₃...x10m, para pk dígitos na mantissa
o valor absoluto do erro absoluto é menor que (1/2).10^m-k e o valor
absoluto do erro absoluto é menor que (1/2).10^-k+1."

1.12 – ERROS NAS OPERAÇÕES ARITMÉTICAS DE PONTO FLUTUANTE

           Qual seria o resultado da operação (0.835 . 10³ x 0.689 . 10²) x 0.787 . 10⁵ num sistema de aritmética de ponto flutuante de três dígitos?
O valor exato dessa operação seria: 0,452772905 . 10¹⁰. A máquina efetuará cada operação e, para cada resultado, ela registra na memória o valor truncado ou arredondado, de acordo com o processo programado na mesma.
Usando o processo do truncamento, a primeira multiplicação teria como valor exato 0,575315 . 105, que seria truncado para 0.5753 . 10⁵ e que seria registrado na memória.
Este valor seria multiplicado por 0.787.10⁵, resultando exatamente 0,4527611 x 10¹⁰, e registrado na memória o valor 0.4527 . 10¹⁰.
Na primeira operação já subsiste um erro que será levado para a segunda operação onde novo erro será cometido.
Note a diferença entre o resultado exato e o resultado sem truncamento após a segunda operação.          Assim, é fundamental que se conheça a limitação da máquina para que se tenha confiança no resultado final da operação. Imagine que os valores iniciais sejam as arestas de um paralelepípedo e que a operação represente o volume do mesmo. Até que ponto é confiável o resultado?

1.13 – ESTIMATIVA DE ERROS NAS OPERAÇÕES ARITMÉTICAS DE PONTO FLUTUANTE

             Sejam X e Y os valores absolutos exatos de dois números e X’ e Y’ os valores absolutos arredondados ou truncados num sistema aritmético de ponto flutuante.
De acordo com a definição de erro absoluto (EA), X = X’ + EAX e Y = Y’ + EAY.
                   (A) ADIÇÃO
Erro absoluto: X + Y = X’ + EA_X + Y’ + EA_Y = (X’ + Y’) + (EA_X + EA_Y) Þ EA_X+Y = EA_X + ER_Y Þ o erro absoluto da soma é igual à soma dos erros absolutos.
Erro relativo: ER_X+Y = EA_X+Y/(X’ + Y’) = (EA_X + ER_Y)/ (X’ + Y’) = (EA_X/X’).[X’/(X’ + Y’)] + (EA_Y/Y’).[Y’/(X’ + Y’)] Þ ER_X+Y = ER_X.[X’/(X’ + Y’)] + ER_Y.[Y’/(X’ + Y’)].

                   (B) SUBTRAÇÃOPor procedimento semelhante se demonstra
EA_{X – Y} = EA_X – EA_Y    e     ER_{X – Y} = ER_X.[X’/(X’ - Y’)] - ER_Y.[Y’/(X’ - Y’)].

                  (C) MULTIPLICAÇÃO     Erro absoluto: X.Y = (X’ + EA_X) + (Y’ + EA_Y) = X’.Y’ + X’.EA_Y + Y’.EA_X + EA_X.EA_YComo EA_X.EA_Y é muito pequeno, pode-se escrever
X.Y = X’.Y’ + X’.EA_Y + Y’.EA_X  Þ EA_X.Y = Y’.EA_X + X’.EA_YErro relativo: ER_X.Y = (Y’.EA_X + X’.EA_Y)/X’.Y’ = Y’.EA_X/X’.Y’ + X’.EA_Y/X’.Y’ Þ ER_X.Y = EAX/X’ + EAY/Y’.                  (D) DIVISÃO
Erro relativo: X/Y = (X’ + EA_X)/(Y’ + EA_Y) = (X’ + EA_X)/Y’[1/(1 + EA_Y/Y’)]. Por desenvolvimento de 1/(1 + EA_Y/Y’) sob forma de uma série (assunto a ser estudado futuramente) e desprezando os teremos de grau igual ou maior que 2, resulta:
X/Y = X’/Y’ + EA_X/Y’ – X’EA_Y/Y’² Þ EA_X/Y = (Y’.EA_X – X’.EA_Y)/Y’². Erro absoluto: ER_X/Y = [(Y’.EA_X – X’.EA_Y)/Y’²]/(X’/Y’) = EA_X/X’ – EA_Y/Y’ Þ  ER_X/Y = ER_X - ER_Y.

Aplicações:

1. Calcular o erro absoluto e o erro relativo ao ser efetuada a operação x + y.z num sistema de aritmética de ponto flutuante de 4 dígitos, sendo x = 0.65237 x 10⁶; y = 0.23465 x 10² e z = 0.367891 x 10⁴, adotando o processo de truncamento.
O valor real de x + y.z é   0.65237 x 10⁶ +  0.08632562315 x 10⁶ = 0.73869562315 x 10⁶.
Ao efetuar a operação no sistema de aritmética de ponto flutuante, a cada operação se faz a aproximação para os 4 dígitos do sistema.
Assim, y’.z’ = 0.086 x 10⁶  e x’ + y’.z’ = 0.7383 x 10⁶.
Erro absoluto cometido: 0.73869562315 x 10⁶ - 0.7383 x 10⁶ = 0.00039562315 x 10⁶ = 0.3956 x 10³.Erro relativo: ER = EA/X’ = 0.39562315 x 10³/0.7383 x 10⁶ = 0.5358 x 10^-3.

2. Considere X = 0.5124 x 10⁴, Y = 0.123 x 10² e Z = 0.8867 x 10³. Para um sistema aritmético de ponto flutuante com 3 dígitos, calcule os erros absoluto e relativo ocorridos nas operações, usando o processo de arredondamento. Utilize as fórmulas desenvolvidas para propagação de erros:a) X + Y                  b) Z.X                       c) 2.X
Calculando os erros absolutos:
Para X:        X = 0.5124 x 10⁴, X’ = 0.512 x 10⁴ (3 dígitos), EA_X = X – X’ = 0.0004 x 10⁴ = 0.4000 x 10¹.
ER_X = EA_X/X’ = 0.4000 x 10¹/0.512 x 10⁴ = 0.781 x 10^-3.Para Y:       Y = 0.123 x 10², Y’ = 0.123 x 10², EA_Y = Y – Y’ = 0. ER_Y = 0. Para Z:        Z = 0.8867 x 10³, Z’ = 0.887 x 10³ (arredondamento), EA_Z = 0.8867 x 10³ – 0.887 x 10³ ==  -0.0003 x 10³ = -0.3 x 10⁰ = -0,3; ERZ = -0,3/0.887 x 10³ = 0,338 x 10^-3. Desta forma:
a) EA_X+Y = EA_X + EA_Y = 0.4000 x 10¹ + 0 = 0.4000 x 10¹. ER_X+Y = ER_X.[X’/(X’ + Y’)] + ER_Y.[Y’/(X’ + Y’)] =
= 0.781 x 10^-3.[0.512 x 10⁴/(0.512 x 10⁴ + 0.123 x 10²)] + 0. [0.123 x 10²/(0.512 x 10⁴ +
+ 0.123 x 10²)] = 0.781 x 10^-3.[0.512 x 10⁴/(0.512 x 10⁴ + 0.123 x 10²)] = 0.779 x 10^-1.

b) EA_X.Z = EA_X + EA_Z =  0.4000 x 10¹ - 0,3 = 0.4000 x 101 – 0.03 x 101 = 0.37 x 10¹.
ER_X.Z = EA_X + EA_Z =  0.4000 x 10¹ - 0,3 = 0.4000 x 101 – 0.03 x 101 = 0.37 x 10¹.

c) EA_2X = 2.EA_X = 0.8000 x 10¹ e ER_2X = 2.ER_X = 2. 0.781 x 10^-3 = 0.156 x 10^-2.