MATEMÁTICA É ASSIM, TAMBÉM !: APLICAÇÕES DE DERIVADAS

sexta-feira, 9 de dezembro de 2011

Exercício:
Encontre o máximo e o mínimo absolutos das funções:

$\begin{displaymath}\text{a)}\quad f(x)=x^3-3x^2+1\qquad -\frac{1}{2}\leq x\leq 4.\end{displaymath}$

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$\begin{displaymath}{\text{b)}}\qquad f(x)=3x^2(x-2)^2\qquad -1\leq x\leq 2.\end{displaymath}$

Resolução:

a) $f(x)=x^3-3x^2+1\quad -1/2\leq x\leq 4$

$\begin{displaymath}f'(x)=3x^2-6x=0\quad x=0\;\;x=2\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}f(-\frac{1}{2})=\frac{1}{8}\quad f(0)=-3\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}f(2)=-3\quad f(4)=17\end{displaymath}$

Segue que o máximo absoluto é f(4)=17 e o mínimo absoluto é f(2)=-3.

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b) $f(x)=3x^2(x-2)^2,\qquad -1\leq x\leq 2$

f'(x)=6x(x-2)²+6x²(x-2)=12x((x-2)(x-1)=0

Os pontos críticos são: x=0, x=2 e x=1. e os valores de f nestes pontos são:

$\begin{displaymath}F(-1)=27,\;f(0)=0,\;f(1)=3,\;f(2)=0\end{displaymath}$

Máximo absoluto : M=27, Mínimo absoluto: m=0

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