TEORIA DOS NÚMEROS - EXERCÍCIO RESOLVIDO

Determinar os inteiros positivos a e b, tais que: a + b = 581 e mmc(a,b) / mdc(a,b) = 240

Neste caso, devemos ter em mente da teoria dos números que:mmc(a,b) = |ab| / mdc(a,b)
Usando a mesma nomenclatura do exemplo anterior, temos que:
mmc(a,b) / mdc(a,b) = ab / d² = a₁b₁
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a₁b₁ = 240 = 2⁴ . 3 . 5
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(a + b) = d(a₁ + b₁) = 581 = 7. 83
d, neste caso, pode assumir os valores 1, 7, 83, 7.83, cada um formando um par de equações conforme a seguir:
1) d = 1, sendo a₁+b₁ = 581
Então: a₁b₁ = 240 e a₁+b₁ = 581
2) d = 7, sendo a₁+b₁ = 83
Então:
a₁b₁ = 240 e a₁+b₁ = 83
3) d = 83, sendo a₁+b₁ = 7
Então:
a₁b₁ = 240 e a₁+b₁ = 7
4) d = 7.83, sendo a₁+b₁ = 1
Neste caso, a₁ = 0 e b₁ = 0, o que não é válido já que ambos são diferentes de zero. Resolvendo as alternativas 1, 2 e 3 vemos que somente a segunda (d=7) produz valores inteiros, ou seja a₁ = 80 e b₁ = 3 que nos dão os valores procurados, ou seja a = 80 . 7 = 560 e b = 3 . 7 = 21