TEORIA DOS NÚMEROS - SOMATÓRIOS E PRODUTÓRIOS (1)

SOMATÓRIOS E PRODUTÓRIOS

4.1 – NOTAÇÕES          Sejam os inteiros  a1, a2, a3, ... , an, com n > 1. São usados os símbolos:

para representar abreviadamente a soma  a1 + a2 + a3 + ... + an

para representar abreviadamente o produto  a1 . a2 . a3 . ... . an

A letra k é o índice do somatório ou do produtório e pode ser substituída por qualquer outra. Se o termo geral for representado por an, não se devem ser usadas as letras a e n para indicar o índice.  Os valores que figuram abaixo e acima dos sinais são os limites inferior e superior do índice k. A indicação an representa o termo geral da sucessão a1, a2, ... ak, .... an. O intervalo de variação do índice pode ser qualquer um. Assim,

ak = am + am+1 + am+2 + .... + an,  com m

O número de termos a serem somados é igual à diferença entre o limite superior e o limite inferior, acrescida de 1 unidade. Na indicação acima, o número de termos é n – m + 1.

2k + 3 = (2.1 + 3) + (2.2 + 3) + (2.3 + 3) + (2.4 + 3) + (2.5 + 3) = 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 45 k2 + 1 = (32 + 1) + (42 + 1) + (52 + 1) + (62 + 1) = 10 + 17 + 26 + 37 = 90 2k = (2.1) . (2.2) . (2.3) . (2.4) = 2.4.6.8 = 384

4.2 - PROPRIEDADES DOS SOMATÓRIOS

Demonstração: por definição

Pela associatividade da adição, resulta (a1 + b1) + (a2 + b2) + … + (an + bn) = (a1 + a2 + ... + an) + (b1 + b2 + … + bn) =

= (21 + 22 + 23) + (3.1 + 3.2 + 3.3) = (14) + (18) = 32

A primeira igualdade é justificada pela definição de somatório, a segunda pela distributividade da multiplicação em relação à adição e a terceira pela definição de somatório.