O que é Cálculo?

Cálculo é uma pequena pedra. Médicos ainda usam a palavra cálculo com esse sentido, para descrever sua presença nos rins, por exemplo. Jogar com pequenas pedras, ou "calcular" é uma forma primitiva de aritmética.O Cálculo Diferencial e Integral é uma parte importante da Matemática, diferente de tudo o que o aluno ingressante na Universidade já estudou até aqui: ele é dinâmico. Trata da variação, de movimento e de quantidades que mudam, tendendo a outras quantidades.
As primeiras idéias do Cálculo surgiram na Grécia antiga, há 2500 anos atrás. Naquela época os gregos já sabiam calcular a área de qualquer região poligonal, dividindo-a em triângulos e somando as áreas obtidas. Para o cálculo de áreas de regiões planas limitadas por curvas, eles usavam o chamado Método da Exaustão. Esse método consistia em considerar polígonos inscritos e circunscritos à região. Aumentando o número de lados dos polígonos, eles conseguiam chegar a valores bem próximos do valor real da área. Por exemplo, suponha que quiséssemos calcular a área A de um círculo. Representando por A_n a área do polígono regular de n lados, incrito no círculo e por Bn a área do polígono circunscrito de n lados, vemos que, para cada valor de n, tem-se
A_n < A < B_n.À medida em que o número de lados dos polígonos aumenta, a área A_n fica cada vez maior, a área B_n, cada vez menor, e ambas mais próximas do valor da área do círculo. Na linguagem atual dizemos "a área do círculo é o limitedas áreas dos polígonos regulares a ele inscritos, quando n tende a infinito" (e também é igual ao limite das áreas dos polígonos circunscritos). Escrevemos
A = lim A_n = lim B_n.Arquimedes é considerado o maior dos Matemáticos da antigüidade e um dos três maiores de todos os tempos. Ele vivia na cidade de Siracusa, sul da Itália. O livro de Carl Boyer sobre História da Matemática nos conta: "Conhece-se poucos fatos da vida de Arquimedes, mas tem-se alguma informação indireta através da narração de Plutarco sobre o general romano Marcelo. Durante a segunda guerra Púnica, a cidade de Siracusa foi sitiada pelos romanos. Arquimedes inventou engenhosas máquinas de guerra para manter o inimigo à distância: catapultas para lançar pedras, cordas, polias e ganchos para levantar e espatifar navios romanos, invenções para queimar os navios. Entretanto, Siracusa caiu e, durante o saque da cidade, Arquimedes foi morto por um soldado romano, apesar das ordens de Marcelo para que o geômetra fosse poupado... Diz-se que Marcelo reservou para si engenhosos planetários que Arquimedes tinha construído para retratar os movimentos dos corpos celestes. Todas as narrações da vida de Arquimedes, no entanto, nos contam que ele dava pouco valor para seus engenhos mecânicos, em comparação com o produto de seus pensamentos. Mesmo quando lidava com alavancas e outras máquinas simples, ele estava muito mais interessado em princípios gerais do que em aplicações práticas." Os tratados escritos por Arquimedes são extremamente precisos do ponto de vista da lógica. Também tinha idéias bastante avançadas para o seu tempo. Alguns de seus métodos só foram retomados 2000 anos depois. Ele fez uma significativa contribuição ao Cálculo ao achar a área da região limitada por uma parábola e uma reta, fazendo a soma das áreas de infinitos triângulos. Foi a primeira vez que se calculou soma com infinitos termos. Usaremos uma idéia parecida com essa em MAT-111 para encontrar a área de regiões limitadas por gráficos de funções e retas paralelas aos eixos coordenados. Esta parte do curso é o que chamamos de Cálculo Integral e que só foi estudada de forma definitiva no final do século 17.
No século XVII viveu o jurista francês Pierre de Fermat (1601 - 1665), um jurista francês que se dedicava ao estudo de Matemática nas horas vagas. Com os instrumentos da Geometria Analítica que ele mesmo desenvolveu (antes mesmo de René Descartes), Fermat estudou funções, tendo encontrado um método de determinar máximos e mínimos de funções analisando os pontos do gráfico em que a reta tangente é horizontal.
As idéias de Fermat foram depois ampliadas e aprofundadas pelos ingleses John Wallis (1616 - 1703), Isaac Barrow (1630 - 1677) e Isaac Newton (1642 - 1727) e pelo alemão Gottfried Leibniz (1646 - 1716). O próximo passo importante para o desenvolvimento do Cálculo foi dado por Barrow que criou um método de achar a reta tangente ao gráfico de uma função em um ponto P. Tendo as coordenadas do ponto P, era necessário achar apenas qual o coeficiente angular (inclinação) da reta tangente. Mas como?
Tomando-se outro ponto Q sobre o gráfico, calcula-se a inclinação m_PQ da reta PQ, que é secante ao gráfico. Depois aproxima-se o ponto Q do ponto P. Com isso, a inclinação da reta secante aproxima-se da inclinação m da reta tangente. Novamente aqui aparece a noção de limite: a inclinação da reta tangente é o limite das inclinações da reta secante PQ, quando Q tende a P. Escrevemos 
m = lim m_PQVeja uma animação que ilustra essa idéia emhttp://www.ima.umn.edu/~arnold/calculus/secants/secants2/secants-g.htmlA parte do Cálculo que lida com retas tangentes, velocidade instantânea, problemas de otimização, etc... é conhecido como Cálculo Diferencial. Newton (também um dos três grandes gênios da Matemática) provou o que hoje é chamado de Teorema Fundamental do Cálculo, que estabelece a relação entre o Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral.
Note que em cada um dos problemas acima mencionados, o cálculo de uma quantidade é feito como limite de outras quantidades mais fáceis de calcular. É essa a idéia básica que permeia o Curso de Cálculo Diferencial e Integral. Entretanto, os matemáticos antigos lidaram com essa idéia de aproximações e limites de modo intuitivo por dois séculos. Percebiam a falta do mesmo nível do rigor ensinado pelos gregos antigos para poderem justificar formalmente os procedimentos, e até mesmo evitar contradições e erros que fizeram. Mas a humanidade precisou esperar até o século 19 para que este rigor fosse finalmente encontrado por Augustin-Louis Cauchy (1789 - 1857), que criou uma definição formal de limite. Essa demora de 2 séculos sinaliza a dificuldade de compreensão desse conceito, mas que é a ferramenta básica e indispensável de todo Matemático nos dias de hoje.
O Cálculo Diferencial e Integral nasceu motivado por alguns poucos problemas, mas a abstração e a sofisticação das idéias que a partir dali foram sendo desenvolvidas fez com que ele se tornasse hoje um assunto fundamental, com aplicações não só em Matemática, mas também em Física, Química, Estatística, Economia, e muitos outras áreas do conhecimento. O Cálculo Diferencial e Integral é usado na determinação de órbitas de astros, satélites, mísseis; na análise de crescimento de populações (de humanos, bactérias, ou outra qualquer); em medidas de fluxos (fluxo sangüíneo na saída do coração, fluxo de carros nas estradas, fluxo da água nos canos, etc...); em importantes problemas de otimização, tais como achar as quantidades ideais de produção que minimizam custos, quais as que maximizam lucros; determinar qual a melhor maneira de empilhar pacotes sob certas condições, como construir reservatórios com máxima capacidade e custo fixado, como achar o melhor caminho de modo a minimizar o tempo de percurso, qual o melhor lugar ângulo para se construir um teto com certas características, etc... Por esse motivo, o Cálculo Diferencial e Integral é hoje considerado um instrumento indispensável de pensamento em quase todos os campos da ciência pura e aplicada: em Física, Química, Biologia, Astronomia, Engenharia, Economia e até mesmo em algumas Ciências Sociais, além de áreas da própria Matemática. Os métodos e as aplicações do Cálculo estão entre as maiores realizações intelectuais da civilização, uma conquista cultural e social, e não apenas científica. Esperamos que vocês aprendam tudo isso com interesse e prazer. Leiam os livros recomendados e divirtam-se!
Martha Salerno Monteiro