Encontre a altura média do cone simples
RESOLUÇÃO:
A figura abaixo ilustra o cone juntamente com o cilindro de mesma base e altura.
A altura média é obtida dividindo-se o volume do cone pela área de sua base. Como a área da base é
(área do disco de raio a ), resta apenas calcular o volume do cone.
Para isso, observe primeiro que o cilindro ilustrado acima tem volume igual a
(área da base vezes altura). Além disso, o sólido abaixo do cone tem volume igual à integral da função
sobre o disco de raio a . Indicando esse disco por D, segue-se então que o volume V do cone é dado por
e resta apenas calcular a integral. Esse cálculo, por sua vez, é mais fácil em coordenadas polares, em que o disco D corresponde ao retângulo [0, a ] X [0,
]. Usando essas coordenadas, obtém-se que
onde a integral do lado direito é bem simples de calcular, e vale
. Substituindo esse valor na expressão do volume, segue-se que
Finalmente, obtém-se que a altura média Am é igual ao quociente entre o volume V e a área A =
da base, isto é,
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