TEORIA DOS NÚMEROS - O CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (1)

O CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS

2.1 - OPERAÇÕES          Sejam dois elementos a e b quaisquer de um conjunto. Define-se uma operação nesse conjunto como sendo um processo que permite associar a cada para (a, b) um terceiro elemento c desse mesmo conjunto.

Podemos imaginar uma operação como um procedimento onde são colocados dois elementos, primeiro o elemento a e a seguir o elemento b em uma máquina. A partir de uma programação da máquina, ela, a partir dos dois elementos, fornecerá um resultado, que é o elemento c.

Simboliza-se uma operação por a Ä b = c, onde a e b são os operandos, c o resultado.          O símbolo  Ä define a operação a  ser efetuada. Em especial, o símbolo  + indica a operação adição, Os  símbolos  X  . ou * , são usados para indicar a operação multiplicação. Exemplo: Seja a  Ä b = c, onde  Ä = a2 - 2b. Tem-se, então;  5  Ä 3 = 52 - 2.3 = 19.         Se a operação não for alguma das tradicionais cujo sinal é convencional, a mesma deverá ser definida ou apresentar uma tabela com os resultados da operação.

2.2 - PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES         Sejam a, b e c elementos de um conjunto A e Ä e  Å duas operações. São as seguintes as propriedades que uma operação pode apresentar:    i) Comutativa,   a Ä b = b Ä a   ii) Associativa (a Ä b) Ä c = a Ä  (b Ä c)  iii) Elemento neutro, "n" é neutro para a operação Ä , se " a Î A,  a Ä n = n Ä a = a.  iv) Inverso. Indica-se o inverso de a por a-1, tal que  a Ä a-1 = a-1 Ä a = n, onde n é o neutro de Ä .   v) Distributiva de Å em relação a Ä .   a Å  (b Ä c) = ( a Å b)  Ä  (a Å c).         Vejamos alguns exemplos: (1) Adição e multiplicação - apresentam as propriedades - comutativa [ a + b = b + a e a.b = b.a], - associativa [ (a + b) + c = a + (b + c) e (a.b).c = a.(b.c) ], - têm elemento neutro [ 0 para a adição pois a + 0 = 0 + a = a e 1 para a multiplicação pois a.1 = 1.a = a], - têm inversos [para a adição o inverso de a é -a, usualmente chamado de simétrico de a, para a multiplicação, o inverso de a  ¹ 0 é 1/a], - distributividade da multiplicação em relação à adição [ a.(b + c) = a.b + a.c ]. (2) a operação a Ä b = c, onde Ä = a2 - 2b não é comutativa. Veja 5 Ä 4 = 52 - 2.4 = 17 e 4 Ä 5 = 42 - 2.5 = 6. Portanto 5 Ä 4 ¹ 4 Ä 5.