TEORIA DOS NÚMEROS - DIVISIBILIDADE EM Z (2)

DIVISIBILIDADE EM Z

5.4 – CONJUNTO DOS DIVISORES DE UM INTEIRO          Indicando por D(n) o conjunto dos divisores de um inteiro, teremos D(n) = {x Î Z* |  x | a}. Exemplos: D(8) = {-1, +1, -2, +2, -4, +4, -8, +8}             D(0) = Z* (todo inteiro diferente de zero é divisor de zero)               D(1) = {-1, +1}           Os divisores –1, +1, -a e +a de a, são chamados de divisores triviais de a.            Convém notar que se x | a , com a ¹ 0, então  x < | a | è  D(a) Ì [ -| a | , | a | ] è o conjunto dos divisores de um inteiro  é um conjunto finito. 5.5 – O CONJUNTO DOS NÚMEROS EXPRESSOS COMO RESTOS DE DIVISÕES               De acordo com o algoritmo da divisão, na divisão de qualquer inteiro n por outro inteiro k, teremos: n = kq + r, onde q é um inteiro e 0 < r < | k |.          No caso particular  da divisão por dois, os restos somente podem ser 0 ou 1. Assim, todo número inteiro terá uma das forma n = 2k ou n = 2k + 1.  Quando n = 2k o número é denominado par e quando  n = 2k + 1, o número é denominado ímpar.          Para qualquer k, teremos: n = kq, n = kq + 1, n = kq + 2,...,  n = kq + r, sendo 0 < r < | k |.          Assim, todo número natural terá uma das formas n = 3q, n = 3q + 1 ou  n = 3q + 2, quando se considera a divisão por 3. APLICAÇÕES (1) Mostre que o produto de dois números inteiros consecutivos é par (ou múltiplo de 2).  Ora, dois números inteiros consecutivos terão as formas n e n + 1. Se n = 2k, pode-se escrever: n(n + 1) = 2k(n + 1) = 2[k(n + 1)]. Como k(n + 1) é um inteiro, então existe um inteiro que multiplicado por 2 resulta em n(n + 1). Portanto, n(n + 1) é par. Mas se n = 2k + 1,  ou n é ímpar,  teremos: n(n + 1) = (2k + 1)[(2k + 1) + 1] = (2k + 1)(2k + 2) = 2.(2k + 1)(k + 1). Como (2k + 1)(k + 1) é um inteiro, então existe um inteiro que multiplicado por 2 resulta em n(n + 1). Portanto, n(n + 1) é par. Como só existem estas duas possibilidades, qualquer que seja n(n + 1) é par. (2) Mostre que o produto de três números inteiros consecutivos é múltiplo de 3.      Sejam os inteiros consecutivos n, n + 1 e n + 2.  Todo número inteiro n pode ser escrito em uma das formas, n = 3k, n = 3k + 1 ou n = 3k + 2, pois os únicos restos possíveis são 0, 1 ou 2. Se n = 3k, a afirmação torna-se evidente pois n(n + 1)(n + 2) = 3k(n + 1)(n + 2) è n(n + 1)(n + 2) é múltiplo de 3. Se n = 3k + 1, teremos n + 2 = 3k + 1 + 2 = 3k + 3 = 3.(k + 1) e n(n + 1)(n + 2) = n(n + 1)[3.(k + 1)] = 3.n.(n + 1)(k + 1) è o produto é múltiplo de 3.  Se n = 3k + 2, teremos n + 1 = 3k + 2 + 1 = 3(k + 1) e n(n + 1)( n + 2) = n[3.(k + 1)](n + 2) = 3n(k + 1)(n + 2 è o produto é múltiplo de 3.       Como estas são as únicas situações possíveis, n(n + 1)(n + 2) é múltiplo de 3. (3) Mostrar que o quadrado de qualquer número, na divisão por 4 , os únicos restos possíveis são 1 ou 0.        Todo número inteiro tem uma das formas: n = 2k ou 2k + 1.  O quadrado dessas duas possíveis formas são n = (2k)2 = 4k2 è o resto na divisão por 4 é zero.  n = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 4.(k2 + k) + 1 = 4q + 1 è o resto na divisão por 4 é 1. EXERCÍCIOS: 1 – Mostre que:  ( a ) se a | b então (-a) | b, a | (-b) e (-a) | (-b).  ( b ) se a | b então a | bc.  ( c ) se a | b e se a | c então a2 | bc. ( d ) se a | b se e somente se ac | bc  (c ¹ 0). 2 – Mostre que se “a” é um inteiro qualquer, então um dos inteiros a, a + 2, a + 4 é divisível por 3. 3 – Mostre que todo inteiro ímpar é da forma 4k + 1 ou 4k + 3. 4 – Mostre que a diferença entre os cubos de dois inteiros consecutivos nunca é divisível por 2. 5 – Na divisão de a = 427 por um inteiro positivo b, o quociente é 12 e o resto é r. Achar o divisor “d” e o resto ”r”. 6 – Na divisão de 525 por um inteiro positivo o resto é 27. Achar os inteiros que podem ser o divisor e o quociente. 7 – Na divisão de dois inteiros positivos o quociente é 16 e o resto é o maior possível. Achar os dois inteiros se sua soma é 341. 8 – Achar os inteiros positivos menores que 150 e que divididos por 39 deixam o resto igual ao quociente. 9 – Na divisão de 392 por 45, determinar:  a)     o maior inteiro que se pode somar ao dividendo sem alterar o quociente.  b)     O maior inteiro que se pode subtrair ao dividendo sem alterar o quociente. 10 – Numa divisão de dois inteiros, o quociente é 16 e o resto é 167. Determinar o maior inteiro que se pode somar ao dividendo e ao divisor sem alterar o quociente. 11 – Achar um inteiro de quatro algarismos, quadrado perfeito, divisível por 27 e terminado em 6. 12 – Um certo número inteiro positivo N é dividido por 32. Se o resto é 25 unidades a mais que o quociente, quais são os possíveis valores de N? 13 – Mostre que, se m e n são dois inteiros positivos tais que m > n, mostre que m + n e m – n têm sempre a mesma paridade. 14 – Mostre que:  a)     a soma de dois inteiros pares positivos é um inteiro par  b)     a soma de dois inteiros positivos, um par e outro ímpar,  é um número ímpar.  c)     A soma de dois inteiros positivos ímpares é um inteiro par.  15 – Mostre que se “a” é um inteiro ímpar então 24 |a(a2 – 1).  16 – Mostre que se “a” e “b” são inteiros ímpares então 8 | (a2 – b2).  17 – Mostre que se “a” e “b” são dois inteiros quaisquer, “a” e “a + 2b” têm a mesma paridade.  18 – Mostrar que 30 | (n5 – n).