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sexta-feira, 9 de dezembro de 2011

APLICAÇÕES DE DERIVADAS - EXERCÍCIO RESOLVIDO

Problema:

Uma cerca de 8m de altura corre paralela a um edifício a uma distância de 4 m desta. Qual é o comprimento da menor escada que alcança o edifício quando inclinada sobre a cerca?

Resolução:

Da figura

**Figura 1:** Escada
$\includegraphics[width=0.50\textwidth]{exer1.eps}$

podemos escrever: $\frac{x}{x-4}=\frac{y}{8}$ e portanto
$y=\frac{8x}{x-4}$ . A função que descreve o comprimento da escada que pode ser apoiada sobre o muro e alcança o edifício tem como expressão:

$\begin{displaymath}f(x)=d^2=x^2+\left(\frac{x}{x-4}\right)^2.\end{displaymath}$

Derivando obtemos:

$\begin{displaymath}f'(x)=2x+2\left(\frac{x}{x-4}\right)\left(\frac{8(x-4)-8x}{(x-4)^2}\right)= 2x\left(1-\frac{56}{(x-4)^3}\right)\end{displaymath}$

Os zeros da derivada são as soluções de:

$\begin{displaymath}2x\left(1-\frac{56}{(x-4)^3}\right)=0\end{displaymath}$

isto é, x=0 ou x=4(2^2/3+1). Como x varia no intervalo $[4, \infty]$ somente nos interessa a segunda raiz.

$\begin{displaymath}f''(x)=2-\left(\frac{512(x-4)^3-512. 3(x-4)^2}{(x-4)^6}\right) = 2-\left(\frac{512(-2x-4)}{(x-4)^4}\right)\end{displaymath}$

f''(4(2^2/3+1))=3.(2^2/3)+6>0.

indicando que esta raiz é um mínimo. Calculando f nesta raiz obtemos:

$\begin{displaymath}d^2=277.147\qquad d=16,6477\end{displaymath}$

Um comentário:

Unknown14 de novembro de 2016 às 09:03
Por que o valor de y em f(x)=x²+y² é x/x-4 e não 8x/x-4, já que está explicitado y=8x/x-4?
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