INTEGRAIS TRIPLAS - EXERCÍCIO RESOLVIDO

EXERCÍCIO:

Use a transformação  e  para calcular a integral

para a região R no primeiro quadrante limitada pelas retas  ,  ,  e  .

RESOLUÇÃO:

A região R está ilustrada na figura abaixo.

Observe que, com a transformação dada, tem-se  e  . Logo, as retas  e  no plano Oxy correspondem às retas horizontais e  no plano Ouv. Analogamente, as retas  e  no plano Oxy correspondem às retas verticais  e  no plano Ouv. A figura abaixo ilustra a região no plano Ouv correspondente à região R

Para o cálculo da integral, primeiro é necessário calcular o jacobiano da transformação, que é o determinante da matriz

Segundo, substituindo  e  no integrando, obtém-se

Logo, usando a fórmula de mudança de variáveis, segue-se que