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segunda-feira, 16 de janeiro de 2012

TEOREMAS RELATIVOS A INTEGRAL DEFINIDA - 02

Teoremas Relativos a Integral Definida (Parte 1)

É interessante observar que a integral definida depende somente da função $[;f;]$ e dos limites de integração, não dependendo da variável de integração. Portanto, podemos escrever

$[;\int_{a}^{b}f(x)dx = \int_{a}^{b}f(t)dt = \ldots = \int_{a}^{b}f(u)du;]$

Neste post, veremos alguns teoremas relacionados a integral definida, mas para isso, precisamos da seguinte definição:

Definição 1: Seja $[;f;]$ integrável no intervalo $[;[a,b];]$ .

$[;i);]$ Se $[;a;]$ estiver no domínio de $[;f;]$ , definimos

$[;\int_{a}^{a}f(x)dx = 0;]$

$[;ii);]$ Se $[;b;]$ for integrável em $[;[a,b];]$ , então definimos

$[;\int_{b}^{a}f(x)dx = -\int_{a}^{b}f(x)dx;]$

Teorema 1: Se $[;c \in \mathbb{R};]$ , então

$[;\int_{a}^{b}cdx = c(b - a) \qquad (1);]$

Demonstração: De fato, seja $[;f(x) = c;]$ . Sendo esta função integrável, então

$[;\int_{a}^{b}cdx = \lim_{n \to \infty}\frac{(b - a)}{n}\sum_{k=0}^{n-1}c = \frac{b - a}{n}\times cn = (b - a)c;]$

Teorema 2: Sejam $[;f;]$ e $[;g;]$ funções integráveis em $[;[a,b];]$ . Se $[;c;]$ é uma constante, então $[;cf;]$ e $[;f + g;]$ são integráveis em $[;[a,b];]$ . Além disso,

$[;i);]$

$[;\displaystyle{\int_{a}^{b}} cf(x)dx = c\displaystyle{\int_{a}^{b}} f(x)dx;]$

$[;ii);]$

$[;\displaystyle{\int_{a}^{b}}[f(x) + g(x)]dx = \displaystyle{\int_{a}^{b}} f(x)dx + \displaystyle{\int_{a}^{b}} g(x)dx;]$

Demonstração: Subdividimos o intervalo $[;[a,b];]$ em $[;n;]$ subintervalos, por meio dos pontos $[;x_k;]$ , $[;k=1,2,\ldots, n-1;]$ escolhidos arbitrariamente. Em cada um dos novos intervalos $[;[a,x_1], [x_1,x_2],\ldots, [x_{n-1},b];]$ escolhemos, também arbitrariamente, os pontos $[;\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_n;]$ .

$[;i);]$ Sendo $[;f;]$ integrável em $[;[a,b];]$ , então

$[;\int_{a}^{b} cf(x)dx = \lim_{\Delta x_k \to 0}\sum_{k=1}^{n}cf(\xi_k)\Delta x_k = \lim_{\Delta x_k \to 0}c\sum_{k=1}^{n}f(\xi_k)\Delta x_k;]$

$[;= c\lim_{\Delta x_k \to 0}\sum_{k=1}^{n}f(\xi_k)\Delta x_k = c\int_{a}^{b} f(x)dx;]$

$[;ii);]$ Sendo $[;f;]$ e $[;g;]$ integráveis em $[;[a,b];]$ , então

$[;\int_{a}^{b} [f(x) + g(x)]dx = \lim_{\Delta x_k \to 0}\sum_{k=1}^{n}[f(\xi_k) + g(\xi_k)]\Delta x_k;]$

$[;= \lim_{\Delta x_k \to 0}\sum_{k=1}^{n}f(\xi_k)\Delta x_k + \lim_{\Delta x_k \to 0}\sum_{k=1}^{n}g(\xi_k)\Delta x_k;]$

$[;= \int_{a}^{b} f(x)dx + \int_{a}^{b} g(x)dx;]$

Teorema 3: Seja $[;f;]$ uma função contínua em $[;[a,b];]$ e $[;f(x) \geq 0;]$ para todo $[;x \in [a,b];]$ . Se $[;a \prec c \prec b;]$ , então

Demonstração: Sendo $[;f;]$ contínua em $[;[a,b];]$ ela é integrável e sendo ela não-negativa,

$[;\int_{a}^{b}f(x)dx;]$

representa a área sob o gráfico de $[;f;]$ de $[;x = a;]$ a $[;x = b;]$ . Analogamente, sendo $[;a \prec c \prec b;]$ , as integrais

$[;\int_{a}^{c}f(x)dx \qquad \text{e} \qquad \int_{b}^{c}f(x)dx;]$

representam as áreas sob o gráfico de $[;f;]$ de $[;x =a;]$ a $[;x = c;]$ e de $[;x = c;]$ a $[;x = b;]$ respectivamente. Sendo a área de $[;a;]$ a $[;b;]$ a soma das áreas menores, segue o resultado.

Teorema 4: Seja $[;f;]$ uma função integrável em $[;[a,b];]$ . Se $[;f(x) \geq 0;]$ para todo $[;x\;]$ em $[;[a,b];]$ , então

$[;\int_{a}^{b}f(x)dx \geq 0;]$

Demonstração: Sendo $[;f;]$ integrável em $[;[a,b];]$ , a integral definida não depende da forma que subdividimos o intervalo $[;[a,b];]$ . Assim,

$[;\int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{n \to \infty}\frac{(b - a)}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\biggl[a + \frac{(b - a)k}{n} \biggr];]$

Sendo $[;f(x) \geq 0;]$ para todo $[;x \in [a,b];]$ , então $[;f(x_k) = f[a + (b - a)k/n] \geq 0;]$ para $[;k = 1,\ldots, n-1;]$ , donde segue o resultado.