AS SÉRIES DE FOURIER - 02

O que é uma série de Fourier.

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Todo aluno de segundo grau conhece as funções trigonométricas, seno, cosseno, tangente etc. A figura ao lado mostra o familiar gráfico da função sen(x), onde x é um ângulo medido em radianos.Essa função é PERIÓDICA, isto é, sua forma se repete a cada PERÍODO. No caso dessa figura, a função seno se repete a cada período de 2. O valor máximo da função, chamado de AMPLITUDE, é 1.

A função cosseno também é periódica, com o mesmo período e amplitude que o seno, mas é deslocada de /2 em relação ao seno.Isso é fácil de constatar examinando os gráficos. Tecnicamente, diz-se que as funções seno e cosseno diferem na FASE e a diferença de fase entre elas é de /2.

Na figura ao lado, vemos a soma (curva em vermelho) das funções sen(x) e cos(x). Essa curva é obtida traçando-se, em cada ponto x, a soma dos valores de sen(x) e cos(x) nesse ponto. Por exemplo, o ponto da curva na região x=5,5 é zero pois o valor de sen(x) é igual e de sinal oposto ao valor de cos(x) nesse ponto. Verifique a situação para outros pontos da curva para treinar pois as séries de Fourier são composições de muitas curvas tipo seno e cosseno, como veremos.

Uma função periódica pode ser bem mais complicada que uma senóide. Veja o exemplo da função f(x) mostrada na figura ao lado. Essa curva também é periódica mas, não é apenas um seno ou um cosseno. Como achar uma função matemática que descreva uma curva como essa?

Foi isso que Fourier descobriu, no início do século 19. Segundo ele, qualquer função periódica, por mais complicada que seja, pode ser representada como a soma de várias funçoes seno e cosseno com amplitudes, fases e períodos escolhidos convenientemente. Existem alguns requisitos para que essa afirmação seja totalmente verdadeira. Mas, eles são tão poucos e especializados que podemos ignorá-los nesse relato simplificado.

A figura abaixo mostra a mesma curva da figura acima juntamente com duas funções seno e duas funções cosseno. A curva original é a soma dessas 4 funções, como você pode verificar com alguma paciência. Note que as amplitudes e períodos das ondas componentes são diferentes entre si.

Matematicamente, a decomposição da função f(x) na curva acima é a seguinte:

Em resumo, qualquer função f(x) pode, segundo Fourier, ser escrita na forma da soma de uma série de funçoes seno e cosseno da seguinte forma geral: Os pontinhos nessa equação indicam que os termos tipo seno e cosseno podem se extender indefinidamente, se necessário, para melhor representação da função original f(x). Resta achar uma forma de calcular os coeficientes  etc, de cada termo da série. Esses coeficientes, como vemos, são as amplitudes de cada onda componente do desenvolvimento em série. Pois foi isso que Fourier conseguiu fazer: achou uma forma simples e elegante de calcular esses coeficientes, coisa que escapara de gigantes como Euler e Bernouilli. Veremos como isso é feito, mais adiante. Antes, porém, precisamos aprender a calcular MÉDIAS de funções periódicas.