Aplicações de integrais

Aulas postadas no YouTube.

Volume de sólidos de revolução I - Método dos discos

Volume de sólidos de revolução II - Método das cascas cilíndricas

Sólido de Revolução

Parte I

Parte 2

Parte 3

Boa revisão!

CÁLCULO DE ÁREA - APLICAÇÃO DE INTEGRAIS

Problem: To find the area bounded by the graphs of the functions

Solution:

CÁLCULO DE ÁREA - APLICAÇÃO DE INTEGRAIS

Problem: To find the area bounded by the graphs of the functions

Solution:

CÁLCULO DE ÁREA - APLICAÇÃO DE INTEGRAIS

Problem: To find the area bounded by the graphs of the functions

Solution:

CÁLCULO DE ÁREA - APLICAÇÃO DE INTEGRAIS

Problem: To find the area bounded by the graphs of the functions

Solution:

CÁLCULO DE ÁREA - APLICAÇÃO DE INTEGRAIS

Problem: To find the area bounded by the graphs of the functions

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CÁLCULO DE ÁREA - APLICAÇÃO DE INTEGRAIS

Problem: To find the area bounded by the graphs of the functions

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CÁLCULO DE ÁREAS - APLICAÇÃO DE INTEGRAIS

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CÁLCULO DE ÁREA - APLICAÇÃO DE INTEGRAIS

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Solution:

CÁLCULO DE ÁREAS - APLICAÇÃO DE INTEGRAIS

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Solution:

CÁLCULO DE ÁREAS - APLICAÇÃO DE INTEGRAIS

Problem: To find the area bounded by the graphs of the functions

Solution:

VÍDEO - AULA DE INTEGRAL TRIGONOMÉTRICA

A sequência de vídeos apresenta uma excelente aula de Integral Trigonométrica.

VÍDEO 1

VÍDEO 2

VÍDEO 3

Bom estudo!

VÍDEO - EXERCÍCIO DE INTEGRAL POR SUBSTITUIÇÃO

Vídeo que apresenta a resolução da integral de x.sen(x^2) dx.

Bons estudos!

INTEGRAL DE COTANGENTE

Faça a substituição de cotangente de x por cosseno de x sobre seno de x.
 

cot x dx =

cos x  sin x

dx

faça
  u = sin x.
em seguida encontramos
  du = cos x dxsubstitua du=cos x, u=sin x



cos x  sin x

dx =

du  u

resolva a integral
= ln |u| + C
substitua novamente u=sin x
= ln |sin x| + C
C.Q.D.

Portanto:

 cot x = ln|sin x| + C.

INTEGRAL DA COSSECANTE

Cálculo da Integral da Cossecante de x.

A estratégia não é óbvia. Multiplique e divida por (csc x + cot x); use Substituição.  

csc x dx =  csc x

csc x + cot x csc x + cot x

dx

faça
  u = csc x + cot x
em seguida encontramos
  du = (- csc x cot x - csc² x) dxsubstitua du = (- csc x cot x - csc² x) dx, u = csc x + cot x



csc x

csc x + cot x csc x + cot x

dx = -

(- csc2 x - csc x cot x) dx  csc x + cot x

 

= -

du u


resolva a integral
= - ln |u| + C
substitua de volta u=csc x + cot x
= - ln |csc x + cot x| + C
C.Q.D.

Portanto:    

csc x = - ln|csc x + cot x| + C.

ÁREA DE CÍRCULO

Calcule a área de um círculo de raio r.

O Cálculo Integral nos permite calcular precisamente a área de um círculo de raio dado.

Em primeiro lugar, vamos estabelecer um sistema de eixos cartesianos, a fim de poder descrever a circunferência como o gráfico de duas funções:

Uma vez que  é a equação da circunferência de centro na origem e raio r, podemos escrever:

 ou .

A área da região delimitada pelo eixo horizontal e pelo gráfico de , ou seja a área de um dos semi-círculos, é dada por:

.

Uma vez que a função integrando é uma função par, podemos apenas calcular a área de um quarto do círculo, ou seja:

.

A fim de calcular a família de primitivas, isto é, , fazemos a substituição:

, para 

temos:

.

Logo

pois se ,  e, além disso, .

Como 

temos:

Logo,

.

Como  é a área de um quarto do círculo, a área do círculo inteiro é .