ANTIDERIVADA - 2

A Antiderivada

     

No Cálculo I, foi estudada a derivada desde sua definição formal, até as regras de derivação. O foco era calcular a derivada de uma dada função. Agora vamos percorrer o caminho contrário: dada a derivada, encontrar a própria função.

Definição 2.1: Uma função ${\displaystyle F\left(x\right)}$ é uma antiderivada ou primitiva de ${\displaystyle f\left(x\right)}$ em ${\displaystyle (a,b)}$ se ${\displaystyle F\text{'}\left(x\right)=f\left(x\right)}$ para cada ${\displaystyle x\in (a,b)}$. Lê-se "efezão de x é uma antiderivada de efezinho de x"

Exemplos:

${\displaystyle F\left(x\right)=sinx}$ é uma antiderivada de ${\displaystyle f\left(x\right)=cosx}$, pois ${\displaystyle \frac{d}{dx}sinx=cosx}$.

${\displaystyle F\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3}$ é uma antiderivada de ${\displaystyle f\left(x\right)=x^2}$, pois ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}{x}^3\right)=x^2}$.

     Observe que ${\displaystyle F\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3+1}$, ${\displaystyle F\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3-5}$ e ${\displaystyle F\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3+\sqrt{2}}$ também são antiderivadas de ${\displaystyle f\left(x\right)=x^2}$. Em geral, qualquer função ${\displaystyle F\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3+C}$, para qualquer constante ${\displaystyle C}$, é uma primitiva para ${\displaystyle f\left(x\right)=x^2}$. Note que este fato é válido para quaisquer funções ${\displaystyle F\left(x\right)}$ e ${\displaystyle f\left(x\right)}$, ou seja, se ${\displaystyle F\left(x\right)}$ é uma antiderivada de${\displaystyle f\left(x\right)}$, então ${\displaystyle F\left(x\right)+C}$ também é uma antiderivada de ${\displaystyle f\left(x\right)}$. A grande questão é: há outras antiderivadas de ${\displaystyle f\left(x\right)}$ além das obtidas pela soma de uma constante a${\displaystyle F\left(x\right)}$? O próximo teorema responde essa questão.

Teorema 2.2: Se ${\displaystyle F\left(x\right)}$ é uma antiderivada de ${\displaystyle f\left(x\right)}$, então qualquer outra pode ser escrita como ${\displaystyle F\left(x\right)+C}$, para alguma constante C.

Demonstração do teorema 2.2.

Sejam ${\displaystyle F\left(x\right)}$ e ${\displaystyle G\left(x\right)}$ antiderivadas de ${\displaystyle f\left(x\right)}$ e consideremos ${\displaystyle H\left(x\right)=G\left(x\right)-F\left(x\right)}$. Então ${\displaystyle H\text{'}\left(x\right)=G\text{'}\left(x\right)-F\text{'}\left(x\right)}$, mas ${\displaystyle G\text{'}\left(x\right)-F\text{'}\left(x\right)=f\left(x\right)-f\left(x\right)}$, logo ${\displaystyle H\text{'}\left(x\right)=0}$. Pelo teorema do valor médio para derivadas, ${\displaystyle H\left(x\right)}$ deve ser constante, digamos ${\displaystyle H\left(x\right)=C}$. Assim, da equação que define ${\displaystyle H\left(x\right)}$, temos ${\displaystyle G\left(x\right)=F\left(x\right)+C}$.

Graficamente

As funções em azul diferem apenas por uma constante (constante de integração) . Note que as retas tangentes a essas funções em pontos de mesma abscissa são paralelas, ou seja, essas funções possuem a mesma derivada.

Este teorema é importante, pois, apesar da antiderivada não ser única, ela admite uma única forma, dependente apenas da constante C. Isto nos permite procurar a função original se conhecemos sua derivada, pois encontrando uma antiderivada, encontramos todas, bastando somar uma constante arbitrária C. O processo de encontrar todas as antiderivadas de uma função é denominado integração. Vamos introduzir uma notação para a integração, a fim de facilitar sua escrita.

A notação ${\displaystyle \int f\left(x\right)d\mathrm{x }= F\left(x\right)+C}$ significa que ${\displaystyle F\text{'}(x) = f\left(x\right)}$. Lê-se "integral de éfe de x dê x". Dizemos que ${\displaystyle F\left(x\right)+C}$ é a integral indefinida de ${\displaystyle f\left(x\right)}$.

     

Nomenclatura:

     

Note que podemos obter fórmulas de integração a partir de fórmulas de derivação.