O Teorema do Valor Médio
O Teorema do Valor Médio foi formulado pela primeira vez por Lagrange.
A importância desse teorema deve-se ao fato dele estabelecer uma relação importante entre a função e sua derivada.
Basicamente, ele garante o seguinte: supondo que a função f é derivável e, sendo dados dois pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) do gráfico de f, existe pelo menos um ponto c, tal que a<c<b, de modo que a reta tangente ao gráfico de f traçada pelo ponto (c,f(c)) é paralela à reta que passa por (a,f(a)) e (b,f(b)).
É preciso observar que o TVM não garante a unicidade do ponto c. Na figura acima, existem dois desses pontos.
Outra observação importante é que a hipótese de f ser derivável sempre e serem considerados dois pontos do gráfico de f, pode ser traduzida da seguinte maneira, levando em conta que precisamos garantir a continuidade no intervalo fechado e a derivabilidade no intervalo aberto: se f é uma função contínua em [a,b] e derivável em ]a,b[ então existe c pertencente a ]a,b[ tal que a reta tangente ao gráfico de f traçada pelo ponto (c,f(c)) é paralela à reta que passa por (a,f(a)) e (b,f(b)). Esse é precisamente o enunciado do Teorema do Valor Médio.
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