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domingo, 8 de janeiro de 2012

AS SÉRIES DE FOURIER - 05

Um exemplo prático: a onda quadrada.

No capítulo anterior, vimos que uma função periódica f(x) pode ser aproximada por uma série de Fourier do seguinte modo:f(x) = a0+ a1 sen(x) +a2 sen(2x) +a3 sen(3x)+ ... + b1 cos(x) + b2 cos(2x) + ...
Os coeficientes de Fourier a0, a1, a2, ... , b1, b2 etc são dados por:
a0 = < f(x) > = média de f(x) em um período;
an = 2 < f(x) sen(nx) > = 2 vezes a média de f(x) sen(nx) em um período;
bn = 2 < f(x) cos(nx) > = 2 vezes a média de f(x) cos(nx) em um período.

Para ilustrar esse resultado vamos fazer o desenvolvimento em série de Fourier de uma função periódica simples: a chamada "onda quadrada", ou "função degrau", cujo gráfico é mostrado na figura ao lado. Essa função está muito na moda pois pode ilustrar uma sucessão de "bits" com valores 1 e 0.No primeiro período, ela pode ser escrita como:
f(x) = 1 (de 0 a )
f(x) = 0 (de  a 2).

A mesma coisa se repete para os demais períodos.Essa é a vantagem de uma função periódica: basta ver o que acontece em um período que sabemos o que acontece nos demais.Vamos, então, expressar essa função "onda quadrada" em séries de Fourier, calculando os coeficientes da série.

O primeiro coeficiente, a0, é simplesmente a média de f(x) no período. É muito fácil de ver, pela figura, que esse valor médio é 1/2.a0 = 1/2.

Para obter o coeficiente a1, primeiro multiplicamos f(x) por sen(x). Obtemos a curva vista ao lado que é simplesmente meia onda de uma senóide. Como vimos antes, a área sob essa meia onda é S = 2. Logo, a altura do retângulo,que é o valor médio do produto f(x) sen(x), deve ser 1/. (Pois, (1/) x 2  = 2.) Portanto:a1 = 2 < f(x) sen(x) > = 2/.

O coeficiente a2 é duas vezes a média de f(x) sen(2x) no período. É claro, pela figura, que esse valor médio é zero. Logo:a2 = 0.

O coeficiente a3 é duas vezes a média de f(x) sen(3x). Vemos, na figura, que as partes sombreadas desse produto se anulam e sobra apenas uma onsa cuja área é 2/3. Logo, o valor médio do produto f(x) sen(3x) vale 1/3. E o coeficiente será:a3 = 2/3.

Continuando com esse processo para os demais coeficientes, logo fica claro que o resultado total é o seguinte:a0 = 1/2;
an = 0 - para todo n PAR;
an = 2/n - para todo n ÍMPAR.

Deixamos para você a tarefa simples de mostrar que todos os coeficientes dos termos em cos(x), isto é, os bn, são nulos.
Portanto, a série de Fourier para a onda quadrada é:
f(x) = 1/2 + (2/) sen(x) + (2/(3)) sen(3x) + (2/(5)) sen(5x) + (2/(7)) sen(7x) + ...

A figura ao lado mostra um gráfico da onda quadrada juntamente com o gráfico da expansão com os primeiros 5 termos da série de Fourier, isto é, com os termos explicitados na equação acima.A outra figura mostra a onda quadrada e sua expansão com os 15 primeiros termos da série de Fourier. Como era de se esperar, quanto maior o número de termos na expansão, melhor a aproximação com a forma da função original.


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