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domingo, 8 de janeiro de 2012

FUNÇÕES 09 - MÁXIMO E MÍNIMO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA


Demonstração dos pontos de Máximo e Mínimo de uma Função Quadrática


Definições:

Valor de Máximo: Dizemos que o número YM ∈ Im (f) é o valor de máximo da função f(x) se, e somente se, YM ≥ y, ∀ y ∈ IM (f). O número YM ∈ D(f) tal que YM = f(XM) é chamado de ponto de máximo da função.

Valor de Mínimo: Dizemos que o número Ym ∈ Im (f) é o valor de mínimo da funçãof(x) se, e somente se, YM ≤ y, ∀ y ∈ Im (f). O número Ym ∈ D(f) tal que 
Ym =f(Xm) é chamado de ponto de mínimo da função.
Mínimo      
         Máximo
[Figura 1: Gráficos]
Teoremas:
1. Se a<0, a função quadrática y ax2+bx+c admite o valor máximo YM = -Δ/4a
para    X= -b/2a.
2. Se a>0, a função quadrática y = ax2+bx+c admite o valor mínimo Ym = -Δ/4
para    X= -b/2a.




Demonstração:

Para esta demonstração vamos primeiramente transformar a função quadráticay=ax2+bx+c em sua forma canônica.
Sedo f(x)=ax2+bx+c, podemos reescrevê-la na forma:
clip_image002
Então, colocamos a em evidência:
clip_image002[4]
Se somarmos e subtrairmos um mesmo valor arbitrário de uma função, a mesma não sofrerá alteração em seu valor final. Utilizaremos, então, um valor conveniente igual ab2/4a2:
clip_image002[6]
clip_image004
clip_image006
Vamos representar b- 4ac por Δ, que é o discriminante do trinômio do 2º grau:
clip_image002[8]
Temos então:
clip_image004[4]
Se analisarmos a equação ( I ) mais minuciosamente, podemos concluir que, se a<0, o valor de y será tanto maior quanto menor for o valor da diferença:
clip_image002[10]
E dessa diferença ( II ), podemos observar que:
  • - Δ/4aé constante, pois não depende da variável x, somente dos coeficientes a, b e c;
  • clip_image002[12], já que para quaisquer valores assumidos porx, a b, (x+b/2a)2 nunca será negativo, pois está elevado ao quadrado.
Podemos reescrever a diferença ( II ) como:





clip_image002[14]
clip_image004[6]
Vamos atribuir valores para x de modo a averiguar para quais valores assumidos por xleva a diferença ( II ) ao menor valor possível:

clip_image002[16]
(– M + M)2 – =
0 – k =
– k
 clip_image004[8]
(1 – M + M)2 – k =
1 – k


clip_image002[18]
(2 – M + M)2 – k =
4 – k

clip_image004[10]
(– 3 – M + M)2 – k =
9 – k
Vejam que para qualquer valor diferente de – M assumido por x, a diferença ( II ) aumenta. Portanto essa diferença assume o menor valor possível quando (x+b/2a)2=0, ou seja, quando = – b/2a. Então:

clip_image002[20]
clip_image004[12]
clip_image002[5]

Então, os valores do vértice da parábola serão:
clip_image002[22]
e
clip_image002[3]
Que são os valores para máximos e mínimos de uma equação de segundo grau.

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