O TEOREMA DO VALOR MÉDIO - 1

O Teorema do Valor Médio

Teorema:


Se f é uma função contínua em [a,b] e derivável em ]a,b[ então existe c pertencente a ]a,b[ tal que a reta tangente ao gráfico de f traçada pelo ponto (c,f(c)) é paralela à reta que passa por (a,f(a)) e (b,f(b)), isto é, .


Demonstração:


Consideremos primeiramente, a reta que passa pelos pontos (a, f(a)) e (b, f(b)), isto é:


Essa reta é o gráfico da função 
Seja g a função que é a diferença entre f e T, isto é g(x)=f(x) -T(x). Assim,


Quando x=a, temos:


e, quando x=b, temos:


Além disso, como g é a diferença entre duas funções contínuas em [a, b] e deriváveis em
 ]a, b[, ela própria é contínua em [a, b] e derivável em ]a, b[. Logo podemos usar o Teorema de Rolle para g, concluindo que existe um número c no intervalo ]a, b[, tal que:


Ou, como ,

temos 

e, portanto,


isto é


como queríamos provar.

Temos uma primeira conseqüência do TVM, que relaciona o sinal da primeira derivada da função com o seu crescimento/decrescimento.