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segunda-feira, 16 de janeiro de 2012

TEOREMAS RELATIVOS A INTEGRAL DEFINIDA - 02

Teoremas Relativos a Integral Definida (Parte 2)

Teorema 1: (Teorema do Valor Médio Para Integrais) Se $[;f;]$ é contínua em $[;[a,b];]$ , então existe sobre este segmento um ponto $[;\xi;]$ tal que

$[;\frac{1}{b - a}\int_{a}^{b}f(x)dx = f(\xi);]$

Sendo $[;f;]$ uma função contínua no intervalo fechado e limitado $[;[a,b];]$ , ela assume o valor mínimo absoluto $[;m;]$ e o valor máximo absoluto $[;M;]$ neste intervalo. Assim, $[;m \leq f(x) \leq M;]$ para todo $[;x \in [a,b];]$ . Integrando esta expressão de $[;a;]$ a $[;b;]$ , temos

$[;\int_{a}^{b}m dx \leq \int_{a}^{b}f(x)dx \leq \int_{a}^{b}Mdx \quad \Rightarrow \quad m(b - a) \leq \int_{a}^{b}f(x)dx \leq M(b - a);]$

Fazendo

$[;\mu = \frac{1}{b - a}\displaystyle{\int_{a}^{b}}f(x)dx;]$

segue que $[;m \leq \mu \leq M;]$ e sendo $[;f;]$ contínua em $[;[a,b];]$ , existe $[;\xi;]$ neste intervalo tal que

$[;f(\xi) = \mu = \frac{1}{b - a}\displaystyle{\int_{a}^{b}}f(x)dx;]$

Lembremos que se uma função é contínua e não-negativa em um intervalo $[;[a,b];]$ , então a área sob o gráfico de $[;f;]$ neste intervalo é representado pela integral definida

$[;A = \displaystyle{\int_{a}^{b}}f(x)dx;]$

Seja $[;A(x);]$ a área sob o gráfico de $[;f;]$ de $[;a;]$ a $[;x\;]$ conforme a figura abaixo:

Teorema 2: Seja $[;f;]$ uma função contínua no intervalo $[;[a,b];]$ . Então a função

$[;A(x) = \int_{a}^{x}f(t)dt;]$

é uma anti-derivada ou primitiva de $[;f(x);]$ , isto é, $[;A^{\prime}(x) = f(x);]$ .

Demonstração: Note que

$[;A(x + \Delta x) - A(x) = \int_{a}^{x + \Delta x}f(t)dt - \int_{a}^{x}f(t)dt = \int_{x}^{x + \Delta x}f(t)dt;]$

Dividindo esta expressão por $[;\Delta x;]$ , temos:

$[;\frac{A(x + \Delta x) - A(x)}{\Delta x} = \frac{1}{\Delta x}\int_{x}^{x + \Delta x}f(t)dt \qquad (1);]$

Pelo Teorema do Valor Médio para Integrais, existe $[;\xi \in [x,x + \Delta x];]$ tal que

$[;\frac{1}{\Delta x}\int_{x}^{x + \Delta x}f(t)dt = f(\xi) \qquad (2);]$

Assim, fazendo $[;\Delta x \to 0;]$ em $[;(1);]$ e usando $[;(2);]$ , segue que

$[;A^{\prime}(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\Delta x}\int_{x}^{x + \Delta x}f(t)dt = \lim_{\Delta x \to 0}f(\xi) = f(x);]$

Observação 1: No caso em que a função $[;f;]$ é não-negativa em $[;[a,b];]$ , a função $[;A(x);]$ representa a área sob o gráfico de $[;f(x);]$ e o eixo $[;x\;]$ , e entre as ordenadas $[;x = a;]$ e $[;x = b;]$ .

Um comentário:

Prof. Paulo Sérgio12 de março de 2012 às 06:09
Obrigado por difundir os posts do blog Fatos Matemáticos. Em breve, publicarei a terceira parte.
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