PRINCÍPIO DE INDUÇÃO FINITA

Utilizando o P.I.F., demonstre a seguinte propriedade:



Para todo a>0, ln aⁿ =n.ln a.




Seja P(n) a afirmação a ser provada por indução: ln aⁿ = n.ln a.
Então P(1):
ln a =1.ln a, portanto, vale P(1).
Supondo que vale P(k):ln a^k = k.ln a,
vamos mostrar que vale P(k+1).
Temos:                               ln a^k+1=ln (a^k.a) = ln a^k +ln a = k.ln a+ln a = (k+1).ln a

Assim, pelo P.I.F., mostramos que a propriedade vale para todo .
Podemos verificar que a propriedade vale também para n=0. De fato, sendo a>0,
ln a⁰=ln 1=0=0.ln a.