MATEMÁTICA É ASSIM, TAMBÉM !: A INTEGRAL DEFINIDA: CONCEITOS E PROPRIEDADES

segunda-feira, 16 de janeiro de 2012

A INTEGRAL DEFINIDA: CONCEITOS E PROPRIEDADES

A Integral Definida: Conceitos e Propriedades

O conceito de integral definida pode ser motivado pela consideração da área delimitada pela curva $[;y = f(x);]$ , o eixo $[;x\;]$ e as ordenadas em $[;x = a;]$ e $[;x = b;]$ . Pode-se, entretanto, formular a definição sem apelar para a geometria.

Subdividimos o intervalo $[;[a,b];]$ em $[;n;]$ subintervalos, por meio dos pontos $[;x_k;]$ , $[;k=1,2,\ldots, n-1;]$ escolhidos arbitrariamente. Em cada um dos novos intervalos

$[;[a,x_1], [x_1,x_2],\ldots, [x_{n-1},b];]$

escolhemos, também arbitrariamente, os pontos $[;\xi_1;]$ , $[;\xi_2, \ldots, \xi_n;]$ e formemos a soma

$[;f(\xi_1)(x_1 - a) + f(\xi_2)(x_2 - x_1) + f(\xi_3)(x_3 - x_2) + \ldots;]$

$[;+ f(\xi_n)(b - x_{n-1}) \qquad (1);]$

Fazendo $[;x_0 = a;]$ , $[;x_n = b;]$ e $[;\Delta x_k = x_{k} - x_{k-1};]$ , podemos escrever

$[;\sum_{k=1}^{n}f(\xi_k)(x_k - x_{k-1}) = \sum_{k=1}^{n}f(\xi_k)\Delta x_k \qquad (2);]$

Geometricamente, esta soma representa a área total de todos os retângulos na figura acima. Aumentando o número $[;n;]$ de subdivisões, isto é, fazendo $[;n \to \infty;]$ segue que $[;\Delta x_k \to 0;]$ . Se, como resultado disso, a soma $[;(1);]$ ou $[;(2);]$ tender para um limite que não dependa do modo da subdivisão do intervalo $[;[a,b];]$ , chamaremos este limite de integral definida de $[;f(x);]$ de $[;x = a;]$ a $[;x = b;]$ e será representada por:

$[;\int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{\Delta x_k \to 0}\sum_{k=1}^{n}f(\xi_k)\Delta x_k \qquad (3);]$

Na integral definida acima, $[;f(x);]$ é o integrando, $[;[a,b];]$ o intervalo de integração, $[;a;]$ o limite inferior de integração e $[;b;]$ o limite superior de integração.

Definição 1: Dizemos que a função $[;f(x);]$ é Riemann integrável em $[;[a,b];]$ ou simplesmente integrável no intervalo finito e fechado $[;[a,b];]$ , se o limite $[;(3);]$ existir e não depender da escolha da partição ou dos pontos $[;\xi_k;]$ no subintervalo. Supõe-se que $[;a \prec b;]$ e portanto, o limite superior de integração é maior que o limite inferior de integração.

Proposição 1: Se $[;f;]$ é contínua no intervalo $[;[a,b];]$ , então ela é integrável em $[;[a,b];]$ .

Geometricamente, se $[;f(x) \geq 0;]$ para $[;a \leq x \leq b;]$ , o valor desta integral definida representa a área delimitada pela curva $[;f(x);]$ , o eixo $[;x\ ;]$ , e as ordenadas $[;x = a;]$ e $[;x = b;]$ . Se $[;f(x);]$ se torna ora positiva, ora negativa, a integral definida representa a soma algébrica das áreas acima e abaixo do eixo $[;x\;]$ , consideradas como positivas as áreas acima do referido eixo e como negativas as áreas abaixo dele.

Observação 1: Se $[;f;]$ é uma função integrável em $[;[a,b];]$ , então o limite das somas à esquerda e à direita dadas por convergem para a integral definida de $[;f;]$ em $[;[a,b];]$ . Portanto, podemos escrever

$[;\int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{n \to \infty}\frac{(b - a)}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\biggl[a + \frac{(b - a)k}{n} \biggr];]$

$[;= \lim_{n \to \infty}\frac{(b - a)}{n}\sum_{k=1}^{n}f\biggl[a + \frac{(b - a)k}{n} \biggr];]$

Observação 2: A integral definida depende somente da função $[;f;]$ e dos limites de integração, não dependendo da variável de integração. Portanto, podemos escrever

$[;\int_{a}^{b}f(x)dx = \int_{a}^{b}f(t)dt = \ldots = \int_{a}^{b}f(u)du;]$

Definição 1: Seja $[;f;]$ integrável no intervalo $[;[a,b];]$ . $[;i);]$ Se $[;a;]$ estiver no domínio de $[;f;]$ , definimos

$[;\int_{a}^{a}f(x)dx = 0;]$

$[;ii);]$ Se $[;b;]$ for integrável em $[;[a,b];]$ , então definimos

$[;\int_{b}^{a}f(x)dx = -\int_{a}^{b}f(x)dx;]$

Teorema 1: Se $[;c \in \mathbb{R};]$ , então

$[;\int_{a}^{b}cdx = c(b - a);]$

Demonstração: De fato, seja $[;f(x) = c;]$ . Sendo esta função integrável, então

$[;\int_{a}^{b}cdx = \lim_{n \to \infty}\frac{(b - a)}{n}\sum_{k=0}^{n-1}c = \frac{b - a}{n}\times cn = (b - a)c;]$

Teorema 2: Sejam $[;f;]$ e $[;g;]$ funções integráveis em $[;[a,b];]$ . Se $[;c;]$ é uma constante, então $[;cf;]$ e $[;f + g;]$ são integráveis em $[;[a,b];]$ . Além disso,
$[;i);]$

$[;\displaystyle{\int_{a}^{b}} cf(x)dx = c\displaystyle{\int_{a}^{b}} f(x)dx;]$

$[;ii);]$

$[;\displaystyle{\int_{a}^{b}}[f(x) + g(x)]dx = \displaystyle{\int_{a}^{b}} f(x)dx + \displaystyle{\int_{a}^{b}} g(x)dx;]$

Demonstração: Subdividimos o intervalo $[;[a,b];]$ em $n$ subintervalos, por meio dos pontos $[;x_k;]$ , $[;k=1,2,\ldots, n-1;]$ escolhidos arbitrariamente. Em cada um dos novos intervalos $[;[a,x_1];]$ , $[;[x_1,x_2],\ldots, [x_{n-1},b];]$ escolhemos, também arbitrariamente, os pontos $[;\xi_1;]$ , $[;\xi_2, \ldots, \xi_n;]$ .

$[;i);]$ Sendo $[;f;]$ integrável em $[;[a,b];]$ , então

$[;\int_{a}^{b} cf(x)dx = \lim_{\Delta x_k \to 0}\sum_{k=1}^{n}cf(\xi_k)\Delta x_k = \lim_{\Delta x_k \to 0}c\sum_{k=1}^{n}f(\xi_k)\Delta x_k;]$

$[;= c\lim_{\Delta x_k \to 0}\sum_{k=1}^{n}f(\xi_k)\Delta x_k = c\int_{a}^{b} f(x)dx;]$

$[;ii);]$ Sendo $[;f;]$ e $[;g;]$ integráveis em $[;[a,b];]$ , então

$[;\int_{a}^{b} [f(x) + g(x)]dx = \lim_{\Delta x_k \to 0}\sum_{k=1}^{n}[f(\xi_k) + g(\xi_k)]\Delta x_k;]$

$[;= \lim_{\Delta x_k \to 0}\sum_{k=1}^{n}f(\xi_k)\Delta x_k + \lim_{\Delta x_k \to 0}\sum_{k=1}^{n}g(\xi_k)\Delta x_k;]$

$[;= \int_{a}^{b} f(x)dx + \int_{a}^{b} g(x)dx;]$

O item ii) do Teorema 2, pode ser estendido a um número arbitrário de funções integráveis.

Teorema 3: Seja $[;f;]$ uma função contínua em $[;[a,b];]$ e $[;f(x) \geq 0;]$ para todo $[;x \in [a,b];]$ Se $[;a \prec c \prec b;]$ , então

$[;\int_{a}^{b}f(x)dx = \int_{a}^{c}f(x)dx + \int_{c}^{b}f(x)dx;]$

Demonstração: Sendo $[;f;]$ contínua em $[;[a,b];]$ ela é integrável e sendo ela não-negativa,

$[;\int_{a}^{b}f(x)dx;]$

representa a área sob o gráfico de $[;f;]$ de $[;x = a;]$ a $[;x = b;]$ . Analogamente, sendo $[;a \prec c \prec b;]$ , as integrais

$[;\int_{a}^{c}f(x)dx \qquad \text{e} \qquad \int_{b}^{c}f(x)dx;]$

representam as áreas sob o gráfico de $[;f;]$ de $[;x =a;]$ a $[;x = c;]$ e de $[;x = c;]$ a $[;x = b;]$ respectivamente. Sendo a área de $[;a;]$ a $[;b;]$ a soma das áreas menores, segue o resultado.

Teorema 4: Seja $[;f;]$ uma função integrável em $[;[a,b];]$ . Se $[;f(x) \geq 0;]$ para todo $[;x\;]$ em $[;[a,b];]$ , então

$[;\int_{a}^{b}f(x)dx \geq 0;]$

Demonstração: Sendo $[;f;]$ integrável em $[;[a,b];]$ , a integral definida não depende da forma que subdividimos o intervalo $[;[a,b];]$ . Assim,

$[;\int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{n \to \infty}\frac{(b - a)}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\biggl[a + \frac{(b - a)k}{n} \biggr];]$

Sendo $[;f(x) \geq 0;]$ para todo $[;x \in [a,b];]$ , então $[;f(x_k) = f[a + (b - a)k/n] \geq 0;]$ para $[;k = 1,\ldots, n-1;]$ , donde segue o resultado.

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