sábado, 11 de fevereiro de 2012

Propriedades da Integral da Integral de Riemann

Propriedades da Integral

Sejam $f,g:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ . Valem as seguintes propriedades:

A integral, quando existir, é única, isto é tem no máximo uma integral definida.
A integral é linear, isto é, se forem integráveis, então para todo $k\in\mathbb{R}$ , a função também será integrável e

$\displaystyle \displaystyle \int^b_a(f+kg)(x)dx = \int^b_a\left[ f(x)+kg(x)\right] dx = \int^b_a f(x)dx + k\int^b_a g(x)dx\,.$
A integral é positiva, isto é, se for integrável e positiva (isto é, $f(x) \geq 0$ , para todo $x\in[a,b]$ ), então a integral $\displaystyle \int^b_a f(x)dx$ será positiva. Em particular, se forem integráveis, com $g(x)\leq f(x)$ para todo $x\in[a,b]$ , então $\displaystyle \int^b_a g(x)dx \leq \displaystyle \int^b_a f(x)dx\,.$
A integral é definida, isto é, se , para todo $x\in[a,b]$ , então será integrável e $\displaystyle \int^b_a f(x)dx =0\,.$
A integral é aditiva, isto é, se existirem as integrais $\displaystyle \int^c_a f(x)dx$ e $\displaystyle \int^b_c f(x)dx$ , com $c \in [a,b]$ , então existirá a integral $\displaystyle \int^b_a f(x)dx$ e

$\displaystyle \displaystyle \int^b_a f(x)dx = \int^c_a f(x)dx + \int^b_c f(x)dx\ .$

Isto quer dizer que se for integrável em todos os subintervalos de um intervalo , então será integrável em . Em particular, quando , temos $\displaystyle \int^a_a f(x)dx=0$ .

Teorema 6.2.1 (Critério de Cauchy) Seja $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ tal que para todo $\varepsilon > 0$ , exista $\delta>0$ tal que para quaisquer divisões marcadas $d=(\xi_i,t_i)$ e $d'=(\zeta_j,s_j)$ de , com $\Delta_{d},\Delta_{d'}<\delta$ , tenhamos

$\displaystyle \left\vert\sum_{i=1}^{\vert d'\vert}f(\xi_i)(t_i-t_{i-1})- \sum_{j=1}^{\vert d'\vert}f(\zeta_j)(s_j-s_{j-1})\right\vert<\varepsilon.$

Então será integrável.

A propriedade da integral que vamos apresentar a seguir pode ser demonstrada usando-se o Critério de Cauchy. Esta propriedade diz que se uma função for integrável em um intervalo $[a,b]\subset \mathbb{R}$ , então ela será integrável em qualquer subintervalo [c,d] de [a,b].

Teorema 6.2.2 Se existir a integral $\displaystyle \int^b_a f(x)dx$ e $[c,d]\subset[a,b]$ , então existirá a integral $\displaystyle \int^d_c f(x)dx$ .

Seja

um subconjunto qualquer de $\mathbb{R}$ . Escrevemos $\chi_A$ para denotar a função característica de

dada por

$\displaystyle \chi_A(t)=\left\{\begin{array}{ll} 1, & t\in A \\ 0, & t\notin A. \\ \end{array}\right.$

Observação: Note que para cada $c \in [a,b]$ , a função $\chi_{\{c\}}$ é integrável e $\displaystyle\int_a^b\chi_{\{c\}}(x)dx=0$ .

Corolário 6.2.1 Sejam $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ integrável e $[c,d]\subset[a,b]$ . Então a função $f\chi_{[c,d]}:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ dada por

$\displaystyle \left(f\chi_{[c,d]}\right)(t)=f(t)\chi_{[c,d]}(t)=\left\{\begin{array}{ll} f(t), & t\in [c,d] \\ 0, & t\notin [c,d] \\ \end{array}\right.$

é integrável e

$\displaystyle \int_a^b\left(f\chi_{[c,d]}\right)(t)dt=\int_c^df(t)dt.$

Corolário 6.2.2 Seja $f:[c,d]\rightarrow\mathbb{R}$ integrável, com $[c,d]\subset[a,b]$ e seja $\widehat{f}$ a prolongada de por 0 a $[a,b]\setminus[c,d]$ , isto é, $\widehat{f}:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ é dada por

$\displaystyle \widehat{f}(t)=\left\{\begin{array}{ll} f(t), & t\in [c,d] \\ 0, & t\notin [c,d]. \\ \end{array}\right.$

Então $\widehat{f}$ é integrável e

$\displaystyle \int_a^b\widehat{f}(t)dt=\int_c^df(t)dt.$