Esse blog é de caráter pessoal e destina-se aos alunos e companheiros interessados em Matemática.
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domingo, 8 de janeiro de 2012

MONOTONICIDADE DE UMA FUNÇÃO - 2

TEOREMA



Seja f uma função contínua num intervalo I, que pode ser aberto ou fechado.
a) Se f '(x)>0 para todo x interior a I, então f será estritamente crescente em I.
b) Se f '(x)<0 para todo x interior a I, então f será estritamente decrescente em I.




Demonstração:



a) Precisamos provar que quaisquer que sejam x1 e x2 em I, com x1<x2, temos f(x1)<f(x2).
Sejam então x1 e x2 em I, com x1<x2: por hipótese, f é contínua em [x1,x2], e derivável em todo ponto interior a esse intervalo. Logo, pelo TVM, existe tal que .
Logo, como f '(c)>0, temos:  e, como x1<x2, temos  e,

portanto, .
Assim,  como queríamos provar.


b) A demonstração nesse caso é completamente análoga.
Uma segunda conseqüência do TVM relaciona o sinal da segunda derivada da função com a concavidade de seu gráfico.

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