TRIGONOMETRIA 03 - FUNÇÃO TANGENTE

Função tangente

Como a tangente não existe para arcos da forma (k+1)/2 onde k está em Z, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função tangente como a relação que associa a este x real, a tangente de x, denotada por tan(x).

f(x) = tan(x) =	sen(x) cos(x)

Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2].

x	0	/4	/2	3 /4		5/4	3/2	7/4	2
y	0	1	não existe	-1	0	1	não existe	-1	0

Gráfico: O segmento AT, mede tan(x).

Pelo gráfico, notamos que quando a medida do arco AM está próximo de /2 (ou de -/2), a função tangente cresce muito rapidamente, pois a reta que passa por OM tem coeficiente angular cada vez maior vai se tornando cada vez mais vertical e a interseção com a reta t vai ficando mais distante do eixo OX.

Propriedades

1. Domínio: Como a função cosseno se anula para arcos da forma /2+k, onde k em Z, temos
   Dom(tan)={x em R: x diferente de /2+k}
2. Imagem: O conjunto imagem da função tangente é o conjunto dos números reais, assim I=R.
3. Periodicidade A função é periódica e seu período é 
   Para todo x em R, sendo x diferente de /2+k, onde k pertence a Z
   tan(x)=tan(x+)=tan(x+2)=...=tan(x+k)
   Justificativa: Pela fórmula da tangente da soma de dois arcos, temos

   tan(x+k) =	tan(x)+tan(k) 1-tan(x).tan(k)	=	tan(x)+0 1-tan(x).0	= tan(x)

   A função tangente é periódica de período fundamental T=.
   Podemos completar o gráfico da função tangente, repetindo os valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam.
   
4. Sinal:

   Intervalo	[0,/2]	[/2,]	[,3/2]	[3/2,2]
   Função tangente	positiva	negativa	positiva	negativa

5. Monotonicidade: A tangente é uma função crescente, exceto nos pontos x=k/2, k inteiro, onde a função não está definida.
6. Limitação: A função tangente não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de (2k+1)/2, a função cresce (ou decresce) sem controle.
7. Simetria: A função tangente é ímpar, pois para todo x real onde a tangente está definida, tem-se que:
   tan(x)=-tan(-x)