A Integral Definida: Conceitos e Propriedades

Subdividimos o intervalo
em
subintervalos, por meio dos pontos
,
escolhidos arbitrariamente. Em cada um dos novos intervalos
escolhemos, também arbitrariamente, os pontos
Fazendo
Geometricamente, esta soma representa a área total de todos os retângulos na figura acima. Aumentando o número
Na integral definida acima,
Definição 1: Dizemos que a função
Proposição 1: Se
Geometricamente, se
para
, o valor desta integral definida representa a área delimitada pela curva
, o eixo
, e as ordenadas
e
. Se
se torna ora positiva, ora negativa, a integral definida representa a soma algébrica das áreas acima e abaixo do eixo
, consideradas como positivas as áreas acima do referido eixo e como negativas as áreas abaixo dele.
Observação 2: A integral definida depende somente da função
e dos limites de integração, não dependendo da variável de integração. Portanto, podemos escrever
Definição 1: Seja
Teorema 1: Se
Demonstração: De fato, seja
Teorema 2: Sejam
Demonstração: Subdividimos o intervalo
O item ii) do Teorema 2, pode ser estendido a um número arbitrário de funções integráveis.
Teorema 3: Seja
Demonstração: Sendo
representa a área sob o gráfico de
representam as áreas sob o gráfico de
Teorema 4: Seja
Demonstração: Sendo
Sendo
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