O TEOREMA DE ROLLE

O Teorema de Rolle

Dada uma função f contínua num intervalo fechado [a,b] e derivável no intervalo aberto ]a,b[ e se f(a)=f(b), então existe c em ]a,b[ tal que f '(c)=0.

Demonstração:


Em primeiro lugar, observemos que, se f é uma função constante para todo x no intervalo [a,b], então f'(x)=0 no interior do intervalo. Logo, c pode ser qualquer ponto do intervalo ]a,b[.
Suponhamos então que f é uma função não constante em [a,b].


Como f, por hipótese, é contínua no intervalo fechado, então, pelo Teorema de Weierstrass, existem x₁ e x₂ em [a,b], tais que f(x₁) e f(x₂) são, respectivamente, os valores máximo e mínimo de f em [a,b]. Como, uma vez que f é não constante em [a,b], segue que x₁ ou x₂ é interior ao intervalo [a,b].

Logo f '(x₁)=0 ou f '(x₂)=0.


Portanto, existe um ponto c interior ao intervalo, tal que f '(c)=0.