PRINCÍPIO DE INDUÇÃO FINITA

Utilizando o P.I.F., demonstre a seguinte propriedade:

(1+r)ⁿ 1+r.n, para todo r > 0.

Seja P(n) a afirmação a ser provada por indução:

(1+r)ⁿ  1+r.n.

Vamos escrever P(1): (1+r)=1+r.1. Portanto, P(1) vale.
Suponhamos agora que vale P(k), ou seja, (1+r)^k  1+r.k
Verifiquemos que, se vale P(k), então vale P(k+1), isto é, (1+r)^k+1  1+r.(k+1)
Temos:                              (1+r)^k+1= (1+r)^k.(1+r)  (1+r.k).(1+r) = 1+r.k+r+r².k  1+ r.(k + 1),

Portanto, P(k+1) vale.
Logo, P(n) vale para todo n 1.
Observemos que, para n=0, a propriedade também vale, pois  e 1+r.0=1. Portanto, P(n) vale para todo .