Teoremas Relativos a Integral Definida (Parte 2)

Teorema 1: (Teorema do Valor Médio Para Integrais) Se
é contínua em
, então existe sobre este segmento um ponto
tal que
Sendo
uma função contínua no intervalo fechado e limitado
, ela assume o valor mínimo absoluto
e o valor máximo absoluto
neste intervalo. Assim,
para todo
. Integrando esta expressão de
a
, temos
Fazendo
Seja
a área sob o gráfico de
de
a
conforme a figura abaixo:
Teorema 2: Seja
uma função contínua no intervalo
. Então a função
![A(x) = \int_{a}^{x}f(t)dt [;A(x) = \int_{a}^{x}f(t)dt;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sXc1rJfO76JyCeFcNlKcF9943YUFSC35_teQRTh73fqwI6LwEGNzu-95zBjEoENSoKJhSLWu0_jvEFMYzxNWJBkjkpRVGRUeJLiA4zQjIgr9YsFr0IT-M6UUny5DlXCsH3xjfNqKjUxbo=s0-d)
é uma anti-derivada ou primitiva de
, isto é,
.
Demonstração: Note que
![A(x + \Delta x) - A(x) = \int_{a}^{x + \Delta x}f(t)dt - \int_{a}^{x}f(t)dt = \int_{x}^{x + \Delta x}f(t)dt [;A(x + \Delta x) - A(x) = \int_{a}^{x + \Delta x}f(t)dt - \int_{a}^{x}f(t)dt = \int_{x}^{x + \Delta x}f(t)dt;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tJmnAr95eXCF7-hRxd503328moK96qIoI8wkOm9K-EA0Xuz_GYPdO7DzM25D6OQbI549L8thyWuKoicJrSbxAwM9aX2mHWGdl7Nt8kS3JJ4s-ra49Il2q4kyKWQduCUVScw79kqnRdyArDyoLEezVD4q2QEwHUeiq5eI9NGfnbVaunmWoSVAZJuf9HdKD8u1MqSJigyNwpoUdzkcXqJ0olIQQzEjw3-Qve_BNqCxEstYSZh7hw4oq2ft0IavEp5Ra4kxl7SZvC_cXOLFqiMyOkfTYKI5xUrqLvDfeZUQAfFjzqRBkZq3SiPwf7iUpVHvIG6_Yn246coGUU3HjO_QiCRTwf=s0-d)
Dividindo esta expressão por
, temos:
![\frac{A(x + \Delta x) - A(x)}{\Delta x} = \frac{1}{\Delta x}\int_{x}^{x + \Delta x}f(t)dt \qquad (1) [;\frac{A(x + \Delta x) - A(x)}{\Delta x} = \frac{1}{\Delta x}\int_{x}^{x + \Delta x}f(t)dt \qquad (1);]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v8s6rqsNFFp6zL1QzEUCnUwR9JXXDC4dReOjDK1-E6palnbyRQ_dYtpNy2LwR_zaHh4isi8PvZLNYez4aUBZmGt9RA0jR-MUS7uttZzl1PPV0CXvu2HkfRoWcV9TVkrGs-CSIJb3tueSJ5O0JNQWcLKGjAmoRadV1GLE08VeGxTa6DLj4SCvLLdN2iUBwLTyrp9YOoBrz3c1Hh4Pq4zA9ez6bWrlEPy-mJMkDgJDNGchUBIDHnoiu7ssnJXTcduDEjqsb1aXCRxvvUHvoBzBbW9yWx6NxhSmMsu7EuhInxet7KZzzP5raQ-jP6Ew28NUQ4fJQ=s0-d)
Pelo Teorema do Valor Médio para Integrais, existe
tal que
![\frac{1}{\Delta x}\int_{x}^{x + \Delta x}f(t)dt = f(\xi) \qquad (2) [;\frac{1}{\Delta x}\int_{x}^{x + \Delta x}f(t)dt = f(\xi) \qquad (2);]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_txfSP3wWcKZjr1gK7oHK9Q6CMhsFu4GVjoRP9fBlSWsmruzL7zJYRNp-vy0gLAxjMbSbqmCnFr6N9-A1QTcgPFZB_pfVYtvUJvq3B_gYHLMNvLXcesv-SvA6Kytg1aV_vUc1-5vFnzkBqmi7nxLxiipaMjigcjb7Q7bMwTxy-DWgpfpRJ_PLegGO8LJcKpwLMCJ7OioqSHaA40DxUZTXllOt1zF5LctMBHH_VF-4wo4CDOAT8FYg=s0-d)
Assim, fazendo
em
e usando
, segue que
![A^{\prime}(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\Delta x}\int_{x}^{x + \Delta x}f(t)dt = \lim_{\Delta x \to 0}f(\xi) = f(x) [;A^{\prime}(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\Delta x}\int_{x}^{x + \Delta x}f(t)dt = \lim_{\Delta x \to 0}f(\xi) = f(x);]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ueXCJCh2GlEVfxqbMyeImukJu6KDY6bWeDoe4ChHATZuCzZeBBcfYCBafrUsoOT1JTXz7s6S4riG1XprKRG-uFyzN-CgsxnahY3vf04M2X6dLwEyp9BaGsMOwn-yWMa-VIlbFDAN4syxXKXtvuK6qnwe4xHYJ6rNM_r66jv946M1cxUFpFQZb670rIiDyVtsTQLesFxHXWgUucVhaTMNTRiM8V4OrlZ6smBMoHIuMzXAJ5b70CQRtXASgFHxzgk_sZowS5r91ZVB3nwB5AO1LRUyTBW4fwUAvLsrfHaq_38lb82mIPO551WeMqU9A8-i8nMQ4Q9B0TBJXxp6K-jHMcqOii_NsayvL7a6ezzoa5jb8DGkaSVnWEWK8=s0-d)
Sendo
Fazendo
segue que
e sendo
contínua em
, existe
neste intervalo tal que
Lembremos que se uma função é contínua e não-negativa em um intervalo
, então a área sob o gráfico de
neste intervalo é representado pela integral definida
Seja

é uma anti-derivada ou primitiva de
Demonstração: Note que
Dividindo esta expressão por
Pelo Teorema do Valor Médio para Integrais, existe
Assim, fazendo
Observação 1: No caso em que a função
é não-negativa em
, a função
representa a área sob o gráfico de
e o eixo
, e entre as ordenadas
e
.
Obrigado por difundir os posts do blog Fatos Matemáticos. Em breve, publicarei a terceira parte.
ResponderExcluir