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segunda-feira, 16 de janeiro de 2012

TEOREMAS RELATIVOS A INTEGRAL DEFINIDA - 02


Teoremas Relativos a Integral Definida (Parte 2)


Teorema 1: (Teorema do Valor Médio Para Integrais) Se [;f;] é contínua em [;[a,b];], então existe sobre este segmento um ponto [;\xi;] tal que
[;\frac{1}{b - a}\int_{a}^{b}f(x)dx = f(\xi);]

Sendo [;f;]uma função contínua no intervalo fechado e limitado [;[a,b];], ela assume o valor mínimo absoluto [;m;] e o valor máximo absoluto [;M;] neste intervalo. Assim, [;m \leq f(x) \leq M;] para todo [;x \in [a,b];]. Integrando esta expressão de [;a;] a [;b;], temos
[;\int_{a}^{b}m dx \leq \int_{a}^{b}f(x)dx \leq \int_{a}^{b}Mdx \quad \Rightarrow \quad m(b - a) \leq \int_{a}^{b}f(x)dx \leq M(b - a);]

Fazendo
[;\mu = \frac{1}{b - a}\displaystyle{\int_{a}^{b}}f(x)dx;]

segue que [;m \leq \mu \leq M;] e sendo [;f;] contínua em [;[a,b];], existe[;\xi;] neste intervalo tal que
[;f(\xi) = \mu = \frac{1}{b - a}\displaystyle{\int_{a}^{b}}f(x)dx;]

Lembremos que se uma função é contínua e não-negativa em um intervalo [;[a,b];], então a área sob o gráfico de [;f;] neste intervalo é representado pela integral definida

[;A = \displaystyle{\int_{a}^{b}}f(x)dx;]

Seja [;A(x);] a área sob o gráfico de [;f;] de [;a;] a [;x\;] conforme a figura abaixo:
Teorema 2: Seja [;f;] uma função contínua no intervalo [;[a,b];]. Então a função
[;A(x) = \int_{a}^{x}f(t)dt;]

é uma anti-derivada ou primitiva de [;f(x);], isto é, [;A^{\prime}(x) = f(x);].

Demonstração: Note que
[;A(x + \Delta x) - A(x) = \int_{a}^{x + \Delta x}f(t)dt - \int_{a}^{x}f(t)dt = \int_{x}^{x + \Delta x}f(t)dt;]

Dividindo esta expressão por [;\Delta x;], temos:
[;\frac{A(x + \Delta x) - A(x)}{\Delta x} = \frac{1}{\Delta x}\int_{x}^{x + \Delta x}f(t)dt \qquad (1);]

Pelo Teorema do Valor Médio para Integrais, existe [;\xi \in [x,x + \Delta x];] tal que
[;\frac{1}{\Delta x}\int_{x}^{x + \Delta x}f(t)dt = f(\xi) \qquad (2);]

Assim, fazendo [;\Delta x \to 0;] em [;(1);] e usando [;(2);], segue que
[;A^{\prime}(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\Delta x}\int_{x}^{x + \Delta x}f(t)dt = \lim_{\Delta x \to 0}f(\xi) = f(x);]

Observação 1: No caso em que a função [;f;] é não-negativa em [;[a,b];], a função [;A(x);] representa a área sob o gráfico de [;f(x);] e o eixo [;x\;], e entre as ordenadas [;x = a;] e [;x = b;].

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Um comentário:

  1. Prof. Paulo Sérgio12 de março de 2012 às 06:09

    Obrigado por difundir os posts do blog Fatos Matemáticos. Em breve, publicarei a terceira parte.

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