Teoremas Relativos a Integral Definida (Parte 2)

Teorema 1: (Teorema do Valor Médio Para Integrais) Se
é contínua em
, então existe sobre este segmento um ponto
tal que
Sendo
uma função contínua no intervalo fechado e limitado
, ela assume o valor mínimo absoluto
e o valor máximo absoluto
neste intervalo. Assim,
para todo
. Integrando esta expressão de
a
, temos
Fazendo
Seja
a área sob o gráfico de
de
a
conforme a figura abaixo:
Teorema 2: Seja
uma função contínua no intervalo
. Então a função
![A(x) = \int_{a}^{x}f(t)dt [;A(x) = \int_{a}^{x}f(t)dt;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sP9Ech-cG54KNv3RBUqi3eZE1Fpv9bpKnUgtXR0JRruRIaw9KeuLyXmSKa2a-x4dA0_w58aQvkMZcLijGBjgHDkvBiW9Hj2QikQeshx4NMezv_Xpk9RONgoX8BKfxju-x8Ar0ln6-XWcs=s0-d)
é uma anti-derivada ou primitiva de
, isto é,
.
Demonstração: Note que
![A(x + \Delta x) - A(x) = \int_{a}^{x + \Delta x}f(t)dt - \int_{a}^{x}f(t)dt = \int_{x}^{x + \Delta x}f(t)dt [;A(x + \Delta x) - A(x) = \int_{a}^{x + \Delta x}f(t)dt - \int_{a}^{x}f(t)dt = \int_{x}^{x + \Delta x}f(t)dt;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tKD8NjZL28k-UdQXVY9xA1o-tUSEQ0ukk2_YIZW2RgMuvpVP5AA6KEoWdVlq-c8uycPe9WthZPaSLvpIiQwk6YMc-7MXs3CsU6RK4iq7XHoh9-lq4Qjt4I04oAOq2SU5weX-2CRpsW1YGK0E9RTRwxtqj5heJeg39ZQX37vlzLKvFalEvkogUpS3nEQHu0YiE3cTgKJnmubvYJAUrb5gohYgR_nUBESGz2YapTY1qstHHRWs7VTZVnB-SDNTQb8j_TNKigKsf7KfVmQ5V_VHN6QKo0gv052mKZSgADggSfnUKr8gOWMR6aKFnEvLJtbnQG0CiFw7nWQEcGnlhZmUEXPOmG=s0-d)
Dividindo esta expressão por
, temos:
![\frac{A(x + \Delta x) - A(x)}{\Delta x} = \frac{1}{\Delta x}\int_{x}^{x + \Delta x}f(t)dt \qquad (1) [;\frac{A(x + \Delta x) - A(x)}{\Delta x} = \frac{1}{\Delta x}\int_{x}^{x + \Delta x}f(t)dt \qquad (1);]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tVJ0tSe0Q8umaPbDBjTxKqrAprfRFUvvoUutVsWL-Iyky42RmEBT2r06FTql3NBKUrE6_5ldJVkmcQ-vH1BT7XNTv_vD03LYfGzGoZ3tSQY0aZw_f9vx6qnZLxf0tkU8wtEhwgOQmAbyIncoBZfseVdN7EYZYxEnODrgbULQwSP_D6DFE8Vq_aL98FsDFJKc2vZnDxgpbLZPCVZPvknvNDunuPZorwEsfK9BzYzZgexZfuyhyHegoYhiXg48kRVZjqL4tOg9KUY2A2L8l03w9liOPncLo_89_g_hao7_wD7leItY_UjgeZrakZtc3gxDsLmuw=s0-d)
Pelo Teorema do Valor Médio para Integrais, existe
tal que
![\frac{1}{\Delta x}\int_{x}^{x + \Delta x}f(t)dt = f(\xi) \qquad (2) [;\frac{1}{\Delta x}\int_{x}^{x + \Delta x}f(t)dt = f(\xi) \qquad (2);]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sKiazVS69mI7lx4fO2eXVj6i0rwv9kS9-vOTg98emKZMrJUTKaI_PYQdmf-cK6rzUbrcenmjrKa8ZWqSUEbFuq9BKvF-tIiB28eWeLm5KpcQdOv459ilgRnWLGIBrwsm6VSBYbgLwoDB-BmcBIBQZKvEDQ5t41S72wINOC3aFKvDplMfuFy_v4MrPBeXx_J4Y_O1K0XNUo422_w5iwjoO3Pz2irEMShVYX36ZBWLa_PnQLNTdh6Q=s0-d)
Assim, fazendo
em
e usando
, segue que
![A^{\prime}(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\Delta x}\int_{x}^{x + \Delta x}f(t)dt = \lim_{\Delta x \to 0}f(\xi) = f(x) [;A^{\prime}(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\Delta x}\int_{x}^{x + \Delta x}f(t)dt = \lim_{\Delta x \to 0}f(\xi) = f(x);]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tqz47SZs8Aha36v1Kkjz7ZvqdOhYQ93WONqb_2zbqQWFw9879iJDwYC8E5b2qDEWTr1LtyQu_bvGNyojr0PO_AZcnBmHusq8DEDAvxcSqFlr9sRpUpC7BjBxTshr27UZ-rms8m0nmVM1MJRIVqvT6JRY2sVQiU7FxpyQxkvtpETdpOBdYoSD2JR34IiVKFjCJyTXoq7QYoEC4NLPN-iFpElnp14RNZE0YxMhmxYOaRFul5hGkR6UqpjVc-qZNaWSeZbwNX_-YFZf-0rlfPtTMLH3XNguxGmzIOjYASYyozLs7PRRSVIlOisjafC30EkppYA2YUtADRULMJrFLioN-VeWRVm9qGGh-bC5P5piNPqD3F5sJ4ppTNBGc=s0-d)
Sendo
Fazendo
segue que
e sendo
contínua em
, existe
neste intervalo tal que
Lembremos que se uma função é contínua e não-negativa em um intervalo
, então a área sob o gráfico de
neste intervalo é representado pela integral definida
Seja

é uma anti-derivada ou primitiva de
Demonstração: Note que
Dividindo esta expressão por
Pelo Teorema do Valor Médio para Integrais, existe
Assim, fazendo
Observação 1: No caso em que a função
é não-negativa em
, a função
representa a área sob o gráfico de
e o eixo
, e entre as ordenadas
e
.
Obrigado por difundir os posts do blog Fatos Matemáticos. Em breve, publicarei a terceira parte.
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