CÁLCULO NUMÉRICO: ERROS

Erros: existência, propagação e representação do número real em ponto flutuante

Erro: existência
A noção de erro está presente em todos os campos do Cálculo Numérico. De um lado, os dados, em si, já não são exatos e, de outro lado, as operações sobre valores não exatos propagam esses erros a seus resultados. Finalmente, os próprios métodos numéricos, freqüentemente métodos aproximados, buscam a minimização dos erros, procurando resultados o mais próximo possível do que seriam valores exatos.
A primeira noção fundamental é a de que cada medida é um intervalo e não um número. Isso decorre do processo de medição, do erro do medidor, da incerteza do valor verdadeiro. Dessa forma, um comprimento não é de 56,7 cm mas, possivelmente, ( 56,7 ± 0,2 ) cm, isto é, algo no intervalo 56,5 cm a 56,9 cm.
A segunda noção é a de que, quando se opera com esse valor, ele carrega sua incerteza para o resultado das operações. Chama-se a esse processo, propagação de erro.
A terceira noção enfatiza que os métodos numéricos podem ser aproximados, freqüentemente iterativos, não se propondo a chegar a resultados exatos num número finito de iterações. Busca, sim, obter valores aproximados, diminuindo o erro a cada iteração, num processo de aproximação sucessiva.
Finalmente, uma quarta noção fundamental é a de que não se pode esquecer que o computador representará os números reais com um número finito de dígitos, sendo forçado a aproximá-los quando os números reais exigirem mais dígitos de que ele está preparado para usar. Como exemplo, ao representarmos o número exato p , ele deverá ser forçosamente arredondado, pois seus infinitos dígitos não poderão ser integralmente representados no computador.
Vejamos algumas observações:

1. quando se representa um valor m ± e , e positivo, vamos sempre admitir que o valor de e seja bem inferior ao valor absoluto de m, para se supor que a medida tenha sido bem feita. Assim, o valor m é expressivo diante de e . A medida 23.537m ± 2m, significa que o valor está entre 23.535m e 23.539m. Essa medida teria sido feita com boa precisão; tem-se uma boa aproximação do valor, embora com certa margem de erro, como sempre.
2. Porém, ao dizer-se que um comprimento é de 5m ± 4m, afirma-se que se sabe muito pouco sobre o valor, que poderia variar desde 1 m até 9 m. Essa medida não tem boa precisão.
3. chama-se desvio absoluto, ou erro absoluto, ao valor de e .
4. chama-se desvio relativo, ou erro relativo, à relação e / abs(m), onde abs(m) é o valor absoluto de m.

Erro: propagação
Vamos aos exemplos:
1- Dados a = 50 ± 3 e b = 21 ± 1 , calcular a soma a + b, a subtração a – b e o produto a . b

• a pode variar de 47 a 53 enquanto b pode variar de 20 a 22. Assim o menor valor da soma seria 47 + 20 = 67 e o maior valor seria 53 + 22 = 75. Logo, a + b = (50 + 21) ± 4 = 71 ± 4, variando de 67 a 75.
• O menor valor da subtração seria 47 – 22 = 25 e o maior valor da subtração seria 53 – 20 = 33. Logo, a – b = (50 – 21) ± 4 = 29 ± 4 , variando de 25 a 33. Observe que na subtração, os erros absolutos se somam, pois sempre se admite o pior caso; nunca se subtraem erros, contando com a sorte; prevê-se, sempre, o caso mais desfavorável.
• O menor valor do produto seria 47 x 20 = 940 e o maior valor do produto seria 53 x 22 = 1166. Logo, a x b = (50 ± 3) x (21 ± 1) » 1050 ± (3 x 21 + 50 x 1) » 1050 ± 113. Despreza-se o produto 3 x 1, por ser muito pequeno diante de (3 x 21 + 50 x 1 ) = 113. Assim, o produto ficaria entre 937 e 1163, ligeiramente diferente do verdadeiro intervalo, exatamente pelo abandono do produto 1 x 3, considerado desprezível.

Quando efetuamos operações sobre números sujeitos a erro, esses erros se propagam aos resultados das operações, que vão refletir a incerteza dos números que compõem a operação.
Assim:
(a ± e_a) + (b ± e_b) = a + b ± (e_a + e_b)
(a ± e_a) – (b ± e_b) = a – b ± (e_a + e_b)
(a ± e_a) x (b ± e_b) » a.b ± (a.e_b +b.e_a)
Estamos admitindo a, b, e_a , e_b sempre positivos . No caso de valores negativos tomaremos – a , – b etc…

Analisemos os erros relativos dessas operações.

• Erro relativo da soma …. E_soma
• Erro relativo da subtração …. E_sub
• Erro relativo do produto …. E_prod
• Erro relativo de a …….E_a
• Erro relativo de b …….E_b

Soma: e_soma = e_a + e_b
Erro Relativo da Soma: E_soma = e_soma / (a + b) = e_a / (a + b) + e_b / (a + b)
Multiplicando e dividindo o primeiro termo por a e o segundo termo por b, temos:
E_soma = e_a / a . a/(a+b) + e_b /b . b/(a+b) = E_a . a/(a+b) + E_b .b/(a+b)
Assim, o erro relativo da soma é a soma dos erros relativos de cada parcela, ponderada pela participação da parcela no total da soma. Sendo a = 50 ± 3 e b = 21 ± 1. A soma a + b = 71 ± 4
Erro relativo de a : E_a = 3/50 = 0,06 , erro relativo de b : E_b = 1/21 = 0,05
Erro relativo de a + b : E_a+b = 0,06 . 50/71 + 0,05 . 21/71 = 0,057 » 4/71
Subtração: e_sub = e_a + e_b
Erro Relativo da Subtração: E_sub = e_sub / (a-b) = (e_a + e_b) / (a-b) = e_a / (a-b) + e_b / (a-b)
Multiplicando de dividindo o primeiro termo por a e o segundo termo por b, temos:
E_sub = e_a / a . a/(a-b) + e_b / b . b/(a-b) =E_a . a/(a-b) + E_b . b/(a-b)
Assim o erro relativo da subtração é a soma dos erros relativos do minuendo com o erro relativo do subtraendo, ponderados pela participação de cada um no resultado da subtração.
Sendo a = 50 ± 3 e b = 21 ± 1. A subtração a – b = 29 ± 4
Erro relativo de a : E_a = 3/50 = 0,06 , erro relativo de b : E_b = 1/21 = 0,05
Erro relativo de a – b : E_a-b = 0,06 . 50/29 + 0,05 . 21/29 = 0,14 » 4/29
Produto: Prod = (a ± e_a) . (b ± e_b) » a.b ± (a . e_b + b .e_a) \ e_prod = a . e_b + b . e_a
Erro Relativo do Produto: E_prod = e_prod / (a.b) = e_b / b + e_a /a
Assim o erro relativo do produto é a soma dos erros relativos dos fatores.
Sendo a = 50 ± 3 e b = 21 ± 1. O produto a.b = 1050 ± 113
Erro relativo de a : E_a = 3/50 = 0,06 , erro relativo de b : E_b = 1/21 = 0,05
Erro relativo de a.b : E_ªa.b = 0,06 + 0,05 = 0,11 » 113/1050
Vamos analisar a divisão.
Divisão: Div = (a ± e_a) / (b ± e_b)
Vamos analisar 1/( b ± e_b) = 1/b(1 ± e_b/b) = 1/b . 1/(1 ± e_b/b)
1/(1+x) » 1- x + x² - … , logo: 1/( 1 ± e_b/b) » 1 ± e_b/b , abandonando-se os termos em x² , x³...
Div = (a/b ± e_a/b) . (1 ± e_b/b) = a/b ± (e_a/b + e_b.a/(b.b))
Erro Relativo da Divisão: E_div = (e_a/b + e_b.a/(b.b)) / (a/b) = e_a/a + e_b/b
Assim o erro relativo da divisão é a soma dos erros relativos do dividendo e do divisor.
Sendo a = 50 ± 3 e b = 21 ± 1. A divisão estará entre 47/22 = 2,14 e 53/20 = 2,65 .
A divisão a/b = 2,38 ± (3/21 + 1x50/(21x21)) = 2,38 ± 0,26, isto é, entre 2,12 e 2,64.
Erro relativo de a/b : E_a/b = 0,06 + 0,05 = 0,11 » 0,26/2,38

RESUMO

Propagação de Erros

1. o erro relativo da soma é a soma dos erros relativos de cada parcela, ponderada pela participação da parcela no total da soma.
2. o erro relativo da subtração é a soma dos erros relativos do minuendo com o erro relativo do subtraendo, ponderados pela participação de cada um no resultado da subtração.
3. o erro relativo do produto é a soma dos erros relativos dos fatores.
4. o erro relativo da divisão é a soma dos erros relativos do dividendo e do divisor.