MONOTONICIDADE DE UMA FUNÇÃO - 2

TEOREMA



Seja f uma função contínua num intervalo I, que pode ser aberto ou fechado.
a) Se f '(x)>0 para todo x interior a I, então f será estritamente crescente em I.
b) Se f '(x)<0 para todo x interior a I, então f será estritamente decrescente em I.



Demonstração:


a) Precisamos provar que quaisquer que sejam x₁ e x₂ em I, com x₁<x₂, temos f(x₁)<f(x₂).
Sejam então x₁ e x₂ em I, com x₁<x₂: por hipótese, f é contínua em [x₁,x₂], e derivável em todo ponto interior a esse intervalo. Logo, pelo TVM, existe tal que .
Logo, como f '(c)>0, temos:  e, como x₁<x₂, temos  e,
portanto, .
Assim,  como queríamos provar.


b) A demonstração nesse caso é completamente análoga.
Uma segunda conseqüência do TVM relaciona o sinal da segunda derivada da função com a concavidade de seu gráfico.