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segunda-feira, 16 de janeiro de 2012

A INTEGRAL DEFINIDA E O LIMITE DE SOMAS


A Integral Definida e o Limite de Somas

O conceito de integral definida pode ser motivado pela consideração da área delimitada pela curva [;y=f(x);], o eixo [;x\ ;] e as ordenadas em [;x=a;] e [;x=b;]. Pode-se, entretanto, formular a definição sem apelar para a geometria.

Na figura ao lado, subdividimos o intervalo [;\[a,b\];] em [;n;]subintervalos, por meio dos pontos [;x_i;], [;i=1,2,3,\ldots;] escolhidos arbitrariamente. Em cada um dos novos intervalos [;(a,x_1);], [;(x_1,x_2),\ldots,(x_{n-1},b);] e formemos a soma
[;f(\xi_1)(x_1 - a) + f(\xi_2)(x_2 - x_1) + \ldots + f(\x_n)(b - x_{n-1});]
Fazendo [;a = x_0;] , [;b = x_n;] e [;x_k - x_{k-1} = \Delta x_k;], podemos escrever
[;\sum_{k=1}^{n}f(\xi_k)(x_k - x_{k-1}) = \sum_{k=1}^{n}f(\xi_k)\Delta x_k \quad \quad (1);]


Geométricamente, esta soma representa a área total de todos os retângulos na figura acima. Aumentando agora o número [;n;] de subdivisões, de modo que cada [;\Delta x_k \to 0;]. Se a soma [;(1);]tender para um limite que não dependa do modo de subdivisão, temos a definição de integral definida de [;f;] de [;a;] a [;b;], ou seja:
[;\int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n}f(\xi_k)\Delta x_k \quad \quad (2);]
Neste caso, [;\[a,b\];] é chamado de intervalo de integração e a função [;f(x)dx;] é o integrando. É possível provar que se a função[;f;] é contínua para [;a \leq x \leq b;], então o limite em [;(2);] existe e dizemos que esta função é integrável em [;\[a,b\];].

Existem várias propriedades da integral definida que se encontra em qualquer livro texto. Vejamos um teorema simples, muito útil para o cálculo de alguns limites de soma.

Teorema: Se [;f(x);] é contínua em [;\[0,1\];], então
[;\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}f\biggl(\frac{k}{n}\biggr) = \int_{0}^{1}f(x)dx \quad \quad (3);] 

Demonstração: Sendo por hipótese, [;f(x);] contínua, o limite existe independentemente do modo de subdividir o intervalo [;\[0,1\];]. Assim, dividindo o intervalo [;\[0,1\];] em [;n;] partes iguais de comprimento [;\Delta x = 1/n;] e fazendo [;\xi_k = k/n;], [;k = 1,2,\ldots, n;], segue da expressão [;(2);] que
[;\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}f(\frac{k}{n})\frac{1}{n} = \int_{0}^{1}f(x)dx;]
que é o resultado desejado.

Exemplos: 
[;1) \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k + n} = \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n\biggl(\frac{k}{n} + 1\biggr)} = \int_{0}^{1}\frac{1}{1 + x}dx = \ln 2;]

[;2) \lim_{n \to \infty} \sum_{k =n}^{2n} \frac{1}{k} = \lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k+n} = \lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{\biggl(\frac{k}{n} + 1\biggr)n};]
ou seja,
[;\lim_{n \to \infty}\sum_{k=n}^{2n}\frac{1}{k} = \lim_{n \to \infty}\biggl[\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{k/n + 1} + \frac{1}{n}\biggr] = \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x}dx = \ln 2;]

[;3);] Seja [;f(x) = \sin(tx);] . Assim,
[;\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}f(\frac{k}{n}) \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\sin(\frac{kt}{n}) = \int_{0}^{1}\sin(tx)dx = \frac{1 - \cos t}{t};]

[;4) \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^2+k^2} = \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n^2}\frac{n}{\biggl[1 + \frac{k^2}{n^2} \biggr]} = \int_{0}^{1}\frac{1}{1 + x^2}dx = \frac{\pi}{4};]

Exercício: Use logaritmos e mostre que
[;\lim_{n \to \infty}\prod_{k=1}^{n}\biggl(1 + \frac{k}{n}\biggr)^{1/n} = \frac{4}{e};]
Fonte: Spiegel, Murray R. Cálculo Avançado. Ed. Mc Graw-Hill do Brasil, São Paulo, [;1971;].
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