TEORIA DOS NÚMEROS - SOMATÓRIOS E PRODUTÓRIOS (4)

SOMATÓRIOS E PRODUTÓRIOS

4.6 – TRIÂNGULO ARITMÉTICO DE PASCAL          Dispondo os coeficientes do desenvolvimento de (x + a)m conforme abaixo obtemos a forma de um triângulo que é conhecido como triângulo de Pascal.

Como pode ser notado, o elemento da linha de nº k, coluna nº p é o binomial

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Se nos referirmos à linha de ordem k e coluna de ordem p, o número aí localizado é o binomial

Propriedade 1 – A soma de dois elementos consecutivos de uma linha é igual ao elemento da linha imediatamente abaixo do segundo número. Veja os elementos marcados com um círculo.  4 + 6 = 10.  Isto deve-se ao fato de que dois elementos consecutivos de uma mesma linha são binomiais consecutivos.          Propriedade 2 – Os elementos que constituem a terceira coluna do triângulo de Pascal são chamados números triangulares. Cada um deles é a soma dos números inteiros consecutivos começados por 1. São assim chamados pois se dispusermos uma quantidade de pontos igual a cada um dos números em linhas sobrepostas, obtém-se sempre um triângulo eqüilátero. Veja a figura abaixo

A soma dos n primeiros números inteiros é dada por n(n + 1)/2. Portanto, o n-esimo termo triangular é   tn = n(n + 1)/2.           Com relação aos números triangulares pode-se afirmar que a soma de dois números triangulares consecutivos é um quadrado perfeito.   Tem-se tn + tn+1 = n(n +1)/2 + (n +1)(n + 2)/2 = (n2 + n + n2 + n + 2)/n = (2n2 + 4n + 2)/2 = n2 + 2n + 1 =  (n + 1)2. EXERCÍCIOS:- 1 – Escreva os elementos da 4ª linha do triângulo de Pascal. 2 – Determine o elemento que ocupa a 5ª linha e  4ª coluna de um triângulo de Pascal. 3 – Determine o elemento que ocupa a linha nº 6 e coluna nº  5 do triângulo de Pascal. 4 – Sabe-se que os elementos abaixo são partes de um triângulo de Pascal. 35             35 A        B           126.     Calcule os valores de A e B. 5 – Determine o 12º número triangular. 6 – Um número triangular vale 120. Qual é sua posição?