INTEGRAIS DUPLAS - EXERCÍCIO RESOLVIDO

EXERCÍCIO:
Encontre a altura média do hemisfério  acima do disco  no plano xy.


RESOLUÇÃO:

A média de uma função f(x, y) em um domínio D é definida por

onde A é a área do domínio. No caso do exercício, a função é dada por  e D é o disco  . Como o disco tem área  , segue-se que a média da função é dada por

A integral acima é mais facilmente calculada usando coordenadas polares. De fato, nessas coordenadas o disco D corresponde ao retângulo D1=  x[0, a], e portanto a integral acima é igual a

A integral  pode ser calculada usando a substituição  . Procedendo dessa maneria, obtém-se que

Substituindo esse valor na expressão da média da função obtém-se que

Observe que, da fórmula da média, segue-se que m*A é o volume abaixo do gráfico da função f(x, y), onde m*A é também o volume de um cilíndro de altura m e base igual ao disco D. Essa interpretação geométrica da média está ilustrada na figura abaixo, em que o cilindro de base D e alutra m está ilustradado na cor cinza.