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sexta-feira, 9 de dezembro de 2011

APLICAÇÕES DE DERIVADAS - EXERCÍCIO RESOLVIDO

Exercício:
Um homem caminha ao longo de um caminho reto com velocidade 4 m/s. Uma lâmpada está localizada no chão a 20m da trajetória (distância ortogonal) e é mantida focalizada na direção do homem. Qual a velocidade de rotação da lâmpada quando o homem está a 15m do ponto do caminho mais próximo da lâmpada?

Resolução:

Seja x a distância entre o ponto mais próximo da lâmpada ao caminho e a posição do homem.

**Figura 3:** Lâmpada
$\includegraphics[width=0.50\textwidth]{exer7.eps}$

$\begin{displaymath}\frac{x}{20}=\tan \theta\Rightarrow x=20\tan \theta \end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\frac{dx}{dt}=20\sec ^2 \theta \frac{d\theta}{dt}\end{displaymath}$

Logo,

$\begin{displaymath}\frac{d\theta}{dt}=\frac{1}{20}\cos^2\theta \frac{dx}{dt}=\frac{1}{5}\cos^2\theta\end{displaymath}$

Quando x=15 usando triângulos temos que $\cos \theta=20/15=4/5$ e portanto:

$\begin{displaymath}\frac{d\theta}{dt}=\frac{1}{5}\left(\frac{4}{5}\right)^2=0.128\end{displaymath}$

que é a velocidade de rotação da lâmpada.

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