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quarta-feira, 7 de dezembro de 2011

INTEGRAIS DUPLAS - EXERCÍCIO RESOLVIDO


(a) A maneira usual de calcular a integral imprópria I é primeiro calcular o seu quadrado
I^2
``
Calcule essa integral usando coordenadas polares e resolva a equação resultante para encontrar I.
(b) Calcule
limit(erf(x),x

RESOLUÇÃO:
(a) Em coordenadas polares, o primeiro quadrante corresponde ao domínio em que r está no intervalo ( 0, ) e theta está no intervalo ( 0, ). Daí segue-se que, em coordenadas polares,
`
onde a integral na variável theta é imediata e a integral na variável r é fácil de ser calculada! De fato, com a substituição r^2 tem-se que
Int(exp(-r^2)*r,r
`
Daí segue-se que
`
``
e portanto I
(b) Do item anterior é claro agora que
Limit(erf(x),x
`
Como curiosidade, a figura abaixo ilustra o gráfico da função g(x) no intervalo  (na cor vermelha), bem como o gráfico da função f(x,y) no primeiro quadrante. O valor de Pi/4 corresponde ao volume abaixo do gráfico de f(x,y) , enquanto que sqrt(Pi)/2 corresponde à área abaixo do gráfico de g(x)
[Maple


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