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quarta-feira, 7 de dezembro de 2011

INTEGRAIS DUPLAS - EXERCÍCIO RESOLVIDO

EXERCÍCIO:

Mude a integral cartesiana
Int(Int(2*1/((1+x^2+y^2)^2),y
para uma integral polar equivalente. Então calcule a integral polar.


RESOLUÇÃO:

Para x no intervalo [-1, 1], as curvas y y descrevem os semi-círculos inferior e superior do círculo de raio 1. Logo, a região de integração é o disco de raio 1. A figura abaixo ilustra esse disco juntamente com o gráfico da função f(x,y) .
[Maple
Em coordenadas polares x y , o disco pode ser descrito como o conjunto dos pontos ( r, ) para os quais theta está no intervalo ( 0, ) e r está no intervalo ( 0, ). Essa variação está ilustrada na figura abaixo.
[Maple
Após essas considerações, e lenbrando que, em coordenadas polares, dx*dy , segue-se que
Int(Int(2*1/((1+x^2+y^2)^2),y
Isto transforma a integral cartesiana em uma integral polar equivalente. Para o cálculo da integral polar, basta usar a substituição u . Então du , e portanto
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