Esse blog é de caráter pessoal e destina-se aos alunos e companheiros interessados em Matemática.
Sendo a internet uma vasta rede de informações que se perde em quantidade de conteúdo, o que pretendemos é juntar todas essas informações em um local que meus alunos possam ter acesso de forma mais simples. Logo para construção desse blog o que estamos fazendo é garimpando na rede tudo que consideramos relevante e postando em um único lugar.

domingo, 11 de março de 2012

INTEGRAL DA COSSECANTE


Cálculo da Integral da Cossecante de x.

    A estratégia não é óbvia. Multiplique e divida por (csc x + cot x); use Substituição.  
    (integral) csc x dx = (integral) csc x csc x + cot x

    csc x + cot x
    dx
    faça
      u = csc x + cot x
    em seguida encontramos
      du = (- csc x cot x - csc2 x) dxsubstitua du = (- csc x cot x - csc2 x) dx, u = csc x + cot x

    (integral) csc x csc x + cot x

    csc x + cot x
    dx = -(integral)
    (- csc2 x - csc x cot x) dx 
    csc x + cot x
     
    = -(integral) du

    u

    resolva a integral
    = - ln |u| + C
    substitua de volta u=csc x + cot x
    = - ln |csc x + cot x| + C
    C.Q.D.
Portanto:    
(integral) csc x = - ln|csc x + cot x| + C.


7 comentários:

  1. Obrigado ajudou muito

    O Guidorizzi substituiu cossec(x) por 1/sen(x) e fez umas coisas que não entendi...

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  2. sua resoluçao esta errada.
    o correto é:
    ln|csc x - cotg x|+c

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    1. Tanto a sua resposta como a dele estão corretas.

      - ln|csc x + cot x| = ln|csc x - cotg x|

      Não vou entrar em detalhes, mas um bom software provará a igualdade em segundos.

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  3. Int (cossec² (x) dx ???

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    1. Anônimo, tu podes lembrar-te da derivada da função cotangente:
      (cot x)' = -csc²x. A integral de csc²x dx é, pois, -cot x + C.

      Uma demonstração mais rigorosa está em PDF neste link:
      https://mega.co.nz/#!wdVU1SCJ!BeqLmHCPeL0bZqX5c-d9E3Z4n-9FzlYHLIFyFC4ECDA.

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  4. Alguém pode, por favor, me dar uma ajuda com essa questão?

    qual é a f(x) cuja derivada seja x / cossec x? Ou seja, qual a integral de x / cossec x dx

    Agradeço a contribuição

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    1. int x/csc(x) dx = int x.sen(x) dx$

      Usando integração por partes com u = x e dv = sen(x) (e portanto que du = 1 e v = -cos(x) ) obtém-se, pela fórmula "int udv = uv - int vdu", que

      int x.sen(x) dx = -x.cos(x) + int cos(x) dx = -x.cos(x) + sen(x) + k.

      Portanto, f(x) = -x.cos(x) + sen(x) + k.

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