Esse blog é de caráter pessoal e destina-se aos alunos e companheiros interessados em Matemática.
Sendo a internet uma vasta rede de informações que se perde em quantidade de conteúdo, o que pretendemos é juntar todas essas informações em um local que meus alunos possam ter acesso de forma mais simples. Logo para construção desse blog o que estamos fazendo é garimpando na rede tudo que consideramos relevante e postando em um único lugar.

segunda-feira, 5 de março de 2012

ÁREA DA ELIPSE


Calcule a área de uma região limitada por uma elipse, sendo dados os comprimentos dos seus dois eixos.

Consideremos a elipse dada através do comprimento dos dois eixos: 2a para o eixo maior e 2b para o eixo menor, com a>b>0.
Em primeiro lugar, vamos estabelecer um sistema de eixos cartesianos, a fim de poder descrever a elipse como o gráfico de duas funções:

Uma vez que, a equação da elipse, centrada na origem, cujo eixo maior é 2a e cujo eixo menor é 2b, é:
, temos:
 ou .
A área da região delimitada pelo eixo horizontal e pelo gráfico de , ou seja a área de uma das semi-elipses, é dada por:
.
Uma vez que a função integrando é uma função par, podemos apenas calcular a área de um quarto da região interior à elipse, ou seja:
.
Calculando a família de primitivas, isto é, , obtemos:
.
Logo,
.
Como  é a área de um quarto da região interior à elipse, a área total é .

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