Esse blog é de caráter pessoal e destina-se aos alunos e companheiros interessados em Matemática.
Sendo a internet uma vasta rede de informações que se perde em quantidade de conteúdo, o que pretendemos é juntar todas essas informações em um local que meus alunos possam ter acesso de forma mais simples. Logo para construção desse blog o que estamos fazendo é garimpando na rede tudo que consideramos relevante e postando em um único lugar.

quinta-feira, 1 de março de 2012

CÁLCULO NUMÉRICO - MÉTODO DA BISSECÇÃO


Localização de Raízes
Traçando o gráfico da função, podemos ter uma ideia aproximada da localização das raízes, mas para assegurarmos rigorosamente que, num intervalo, existe uma e uma só raiz, recordamos dois teoremas elementares da análise:Teorema (do Valor Intermédio):
Seja f uma função contínua no intervalo [a,b].
Se f(a) f(b) < 0 então existe pelo menos uma raiz da equação f(x) = 0 no intervalo [a,b].
O teorema do valor intermédio garante apenas a existência. Para garantirmos a unicidade, podemos usar :Teorema (de Rolle) :
Seja f uma função diferenciável no intervalo [a,b].
Se f ' (x) =/= 0 para todo o x em [a,b], então existe no máximo um z em ]a,b[ tal que f(z) = 0.
Podemos garantir a unicidade, num caso mais geral, desde que a função f seja estritamente monótona.
Estes teoremas não nos dão um método para aproximar a solução do problema, no entanto, podemos nos basear no T. Valor Intermédio para desenvolver um método iterativo muito simples:


MÉTODO da BISSECÇÃO
Sabendo que no intervalo [a, b] a equação f(x) = 0 tem apenas uma e uma só raiz , vamos construir
intervalos [ an, bn ] com metade do comprimento dos anteriores, onde asseguramos a existência da raiz.
O método pode-se esquematizar num ciclo :

Intervalo Inicial : [ a0, b0 ] = [ a, b ]
Repetir :1) xn+1 = ( an + bn) / 2
2) Se f (xn+1) f(an) < 0 
Então an+1 = an; bn+1 = xn+1 
Senão an+1 = xn+1; bn+1 = bn
Até que :
f(xn+1) = 0 ou |xn+1-xn| < E
Usamos o critério de paragem |xn+1-xn| < E onde o valor E>0 é um valor suficientemente pequeno pois neste caso o erro absoluto verificará | en+1 | < ½ |an - bn| = |xn+1 - xn| < E.Para além disso, podemos determinar facilmente um majorante do erro para uma iterada xn a partir do comprimento do intervalo inicial:
| en| < ½ |an-1 - bn-1| = (1 / 2)n | a0 - b0|


5 comentários:

  1. Muito obrigada, o seu blog me ajudou muito! Queria que os professores conseguissem explicar como você explica aqui no blog! A engenharia seria muito mais fácil!

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    1. Este comentário foi removido pelo autor.

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    2. Concordo.. tenho prova hoje de cálculo e este site me ensinou coisas que não aprendi em 6 meses de aulas!!! mto obg..

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  2. Este comentário foi removido pelo autor.

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  3. Encontre a raiz de f(x) = x^3 * sen(x^2) - x^2 * cos(x) - 0; 1 no intervalo
    [-1; 1], usando o método da bissecção. não consigo resolver esse vc poderia me ajudar??
    responda no meu e-mail: david-souza2012012@hotmail.com
    obrigado!!!

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