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sábado, 11 de fevereiro de 2012

Propriedades da Integral da Integral de Riemann


Propriedades da Integral

Sejam $ f,g:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$. Valem as seguintes propriedades:

  • A integral, quando existir, é única, isto é $ f$ tem no máximo uma integral definida.
  • A integral é linear, isto é, se $ f,g$ forem integráveis, então para todo $ k\in\mathbb{R}$, a função $ f+kg$ também será integrável e
    $\displaystyle \displaystyle \int^b_a(f+kg)(x)dx = \int^b_a\left[ f(x)+kg(x)\right] dx =
\int^b_a f(x)dx + k\int^b_a g(x)dx\,.$

  • A integral é positiva, isto é, se $ f$ for integrável e positiva (isto é, $ f(x) \geq 0$, para todo $ x\in[a,b]$), então a integral $ \displaystyle \int^b_a f(x)dx$ será positiva. Em particular, se $ f,g$ forem integráveis, com$ g(x)\leq f(x)$ para todo $ x\in[a,b]$, então $ \displaystyle \int^b_a
g(x)dx \leq \displaystyle \int^b_a f(x)dx\,.$
  • A integral é definida, isto é, se $ f(x)=0$, para todo $ x\in[a,b]$, então $ f$ será integrável e $ \displaystyle \int^b_a f(x)dx =0\,.$
  • A integral é aditiva, isto é, se existirem as integrais $ \displaystyle \int^c_a f(x)dx$ e $ \displaystyle \int^b_c f(x)dx$, com $ c \in
[a,b]$, então existirá a integral $ \displaystyle \int^b_a f(x)dx$ e
    $\displaystyle \displaystyle \int^b_a f(x)dx = \int^c_a f(x)dx +
\int^b_c f(x)dx\ . $

    Isto quer dizer que se $ f$ for integrável em todos os subintervalos de um intervalo $ [a,b]$, então $ f$ será integrável em $ [a,b]$. Em particular, quando $ c=a$, temos $ \displaystyle \int^a_a f(x)dx=0$.


Teorema 6.2.1 (Critério de Cauchy)   Seja $ f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ tal que para todo $ \varepsilon > 0$, exista $ \delta>0$ tal que para quaisquer divisões marcadas $ d=(\xi_i,t_i)$ e $ d'=(\zeta_j,s_j)$ de $ [a,b]$, com$ \Delta_{d},\Delta_{d'}<\delta$, tenhamos
$\displaystyle \left\vert\sum_{i=1}^{\vert d'\vert}f(\xi_i)(t_i-t_{i-1})-
\sum_{j=1}^{\vert d'\vert}f(\zeta_j)(s_j-s_{j-1})\right\vert<\varepsilon.
$

Então $ f$ será integrável.

A propriedade da integral que vamos apresentar a seguir pode ser demonstrada usando-se o Critério de Cauchy. Esta propriedade diz que se uma função for integrável em um intervalo $ [a,b]\subset \mathbb{R}$, então ela será integrável em qualquer subintervalo [c,d] de [a,b].


Teorema 6.2.2   Se existir a integral $ \displaystyle \int^b_a f(x)dx$ e $ [c,d]\subset[a,b]$, então existirá a integral $ \displaystyle \int^d_c
f(x)dx$.

Seja $ A$ um subconjunto qualquer de $ \mathbb{R}$. Escrevemos $ \chi_A$ para denotar a função característica de $ A$ dada por

$\displaystyle \chi_A(t)=\left\{\begin{array}{ll}
1, & t\in A \\
0, & t\notin A. \\
\end{array}\right.
$

Observação: Note que para cada $ c \in
[a,b]$, a função $ \chi_{\{c\}}$ é integrável e $ \displaystyle\int_a^b\chi_{\{c\}}(x)dx=0$.


Corolário 6.2.1   Sejam $ f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ integrável e $ [c,d]\subset[a,b]$. Então a função $ f\chi_{[c,d]}:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ dada por
$\displaystyle \left(f\chi_{[c,d]}\right)(t)=f(t)\chi_{[c,d]}(t)=\left\{\begin{array}{ll}
f(t), & t\in [c,d] \\
0, & t\notin [c,d] \\
\end{array}\right.
$

é integrável e
$\displaystyle \int_a^b\left(f\chi_{[c,d]}\right)(t)dt=\int_c^df(t)dt.
$



Corolário 6.2.2   Seja $ f:[c,d]\rightarrow\mathbb{R}$ integrável, com $ [c,d]\subset[a,b]$ e seja $ \widehat{f}$ a prolongada de $ f$ por 0 a $ [a,b]\setminus[c,d]$, isto é, $ \widehat{f}:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ é dada por
$\displaystyle \widehat{f}(t)=\left\{\begin{array}{ll}
f(t), & t\in [c,d] \\
0, & t\notin [c,d]. \\
\end{array}\right.
$

Então $ \widehat{f}$ é integrável e
$\displaystyle \int_a^b\widehat{f}(t)dt=\int_c^df(t)dt.
$



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