TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMÉTICA

Teorema fundamental da aritmética


O Teorema Fundamental da Aritmética sustenta que todos os números inteiros positivos maiores que 1 podem ser decompostos num produto de números primos, sendo esta decomposição única a menos de permutações dos fatores.

Este teorema foi exposto, pela primeira vez, no livro IX dos Elementos de Euclides.

Demonstração do Teorema Fundamental da Aritmética

Teorema

Seja um inteiro positivo. Então, existem primos positivos tais que , e essa decomposição é única.

Demonstração:

Existência de uma decomposição

Será usado para esta demonstração o Princípio de indução completa.

Para existe uma decomposição trivial em números primos, já que 2 é, ele próprio, um número primo. Suponhamos agora que existe uma decomposição para todo inteiro . Mostraremos que também vale para .

Se é primo, admite a decomposição trivial. Caso contrário, admite um divisor positivo tal que . Isto é, , e temos também . Pela hipótese de indução, e podem ser escritos como produtos de primos, na forma , .

Substituindo, temos , e o resultado também vale para .

Unicidade da decomposição

Dado um inteiro , ele poderia admitir, em princípio, mais de uma decomposição em produto de fatores primos. Será chamado comprimento de uma decomposição ao número de fatores que nela comparecem.

A demonstração será feita por indução no comprimento de uma decomposição de .

Suponhamos que admita uma decomposição do tipo , onde é primo, e que vale

,

em que são primos positivos. Como divide , também divide , que é primo. Então, devemos ter . Cancelando, vem . Se , teríamos que o primo seria invertível, uma contradição. Assim, e, como já provamos que , o primeiro passo de indução está verificado.

Suponhamos agora o resultado verdadeiro para todo inteiro que admita uma decomposição de comprimento , e seja um inteiro com uma decomposição de comprimento . Se admitisse outra decomposição, temos

,

em que são primos positivos.


Como na primeira parte, divide e temos que divide , para algum (Lema de Euclides). Como é primo, devemos ter novamente que . Em particular, .

De forma análoga, pode-se obter que , para algum j. Logo, . De ambas as desigualdades, vem que . Finalmente, cancelando em , temos que

.

Agora, o primeiro membro da igualdade tem uma decomposição de comprimento , logo, da hipótese de indução, admite uma única decomposição. Assim, temos , donde e , para . Como já provamos que , ambas as expressões de coincidem.

Agrupando os primos eventualmente repetidos na decomposição de , podemos enunciar o teorema anterior de forma levemente diferente. Também podemos estendê-lo a números negativos.


Teorema Fundamental da Aritmética

Seja um inteiro diferente de 0, 1 e -1. Então, existem primos positivos e inteiros positivos tais que . Além disso, essa decomposição é única.

Demonstração:

Temos que , conforme seja positivo ou negativo. Como é positivo, do teorema anterior, temos que existem primos tais que

.

Agrupando os primos eventualmente repetidos, podemos escrever

.

A unicidade segue diretamente do teorema anterior.

Está, portanto, demonstrado o Teorema Fundamental da Aritmética.

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Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_da_aritm%C3%A9tica

Referência
Milies, Francisco César Polcino. Números: Uma Introdução à Matemática. 3 ed. São Paulo: Editora da USP, 2003.