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sábado, 3 de março de 2012

DIVISIBILIDADE


Definição de divisibilidade

Definição
Dados os inteiros a e b, diz-se que "a divide b" e escreve-se a|b , se existe um inteiro c tal que b=a\cdot c. Alternativamente, a|b pode ser lido como "a é divisor de b", "a é um fator deb" ou "b é múltiplo de a". Quando não se tem a|b, escreve-se a\not|b.
O conceito apresentado acima define uma relação binária no conjunto dos números inteiros: a divisibilidade.
Lembre-se que uma relação binária sobre \mathbb{Z} é qualquer subconjunto R do conjunto das partes de \mathbb{Z}, P(\mathbb{Z}). No caso da divisibilidade, tem-se:
R=\{(a,b) | a \mbox{ divide } b \}
Nesses termos, quando (a,b) \in R costuma-se dizer que a está relacionado com b escrevendo-se a R b.


Propriedades da divisibilidade

A relação de divisibilidade possui as seguintes propriedades, para quaisquer (salvo indicação em contrário) inteiros a,b,c,d,r,s:

1. a|a (reflexividade)
2. a|b  e b|c implica a|c(transitividade)
3. a|b e b|a implica a=b ou a=-b
4. c|a e c|b implica c|ra + sb(linearidade)
5. a|b e c|d implica ac|bd
6. a|b implica ac|bc(multiplicatividade)
7. ac|bc e c\not = 0 implica a|b(lei do cancelamento)
8. 1|a(1 divide todo número inteiro)
9. a|0(todo número inteiro divide zero)
10. 0|a implica a=0(zero só divide zero)
11. a|1 implica a=\pm 1(os divisores de 1 são 1 e -1)
12. a|b e b\not =0 implica |a|\le |b|(compatibilidade com a ordem "\le ")
13. a|b e a\not = 0 implica (b/a)|b
 
Observações
  • A terceira propriedade seria chamada de anti-simetria, se não fosse necessário considerar o caso "a=-b". Quando são considerados apenas os números não-negativos (os elementos de \mathbb{Z}_+) a conclusão é apenas "a=b", e as propriedades de 1 a 3 fazem da divisibilidade uma relação de ordem parcial sobre \mathbb{Z}_+. No entanto, essa não é uma ordem total, pois nem todo par de elementos em \mathbb{Z}_+ é comparável, ou seja, existem inteiros não negativos a e b, para os quais não se tem a|b nem b|a.
  • Frequentemente é mais prático trabalhar apenas com o conjunto dos números naturais \mathbb{N} (o subconjunto dos inteiros não-negativos \mathbb{Z}_+) ou com os números naturais não nulos \mathbb{N}^* (os inteiros positivos \mathbb{Z}_+^*).
  • As propriedades 1 e 8 garantem que todo número inteiro não negativo a, diferente de 1, possui ao menos dois divisores, chamados de divisores triviais: 1 e a. Os números que possuemsomente estes divisores são de grande interesse na teoria de números
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