ÁREA DA ELIPSE

Calcule a área de uma região limitada por uma elipse, sendo dados os comprimentos dos seus dois eixos.

Consideremos a elipse dada através do comprimento dos dois eixos: 2a para o eixo maior e 2b para o eixo menor, com a>b>0.

Em primeiro lugar, vamos estabelecer um sistema de eixos cartesianos, a fim de poder descrever a elipse como o gráfico de duas funções:

Uma vez que, a equação da elipse, centrada na origem, cujo eixo maior é 2a e cujo eixo menor é 2b, é:

, temos:

 ou .

A área da região delimitada pelo eixo horizontal e pelo gráfico de , ou seja a área de uma das semi-elipses, é dada por:

.

Uma vez que a função integrando é uma função par, podemos apenas calcular a área de um quarto da região interior à elipse, ou seja:

.

Calculando a família de primitivas, isto é, , obtemos:

.

Logo,

.

Como  é a área de um quarto da região interior à elipse, a área total é .